第八章_black-scholes_模型(金融衍生品定价理论讲义)

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1、第八章Black-Scholes模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。RobertC.Merton，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到：过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。LL因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水

2、岭。直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时

3、间随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。Inthischapterwestudythebest-knowncontinuoustimemodel,theBlack-SCHOLESMODEL.Thismodel,developedbyFischerBlackandMyronScho

4、lesin1973,describesthevalueofaEuropeanoptiononanassetwithnocashflows.Themodelhashadahugeinfluenceonthewaythattraderspriceandhedgeoptions.Ithasalsobeenpivotaltothegrowthandsuccessoffinancialengineeringinthe1980sand1990s.Themodelrequiresonlyfiveinputs:theassetprice,thestrikeprice,thetimetomaturit

5、y,therisk-freerateofinterest,andthevolatility.TheBlack-Scholesmodelhasbecomesthebasicbenchmarkmodelforpricingequityoptionsandforeigncurrencyoptions.Itisalsosometimesused,inamodifiedform,topriceEurodollarfuturesoptions,Treasurybondoptions,caps,andfloors.Wecannotsaythatwehavemasteredoptionpricing

6、theoryunlessweunderstandtheBlack-Scholesformula.本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。1．连续时间随机过程我们先介绍Markov过程。定义：一个随机过程称为Markov过程，如果预测该过程将来的值只与它的目前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即（1）这里，，表示直到时间的信息。我们通常假设股票的价格过程服从Markov过程。假设IBM公司股票的现在的价格是100元

7、。如果股票价格服从Markov过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格100元。由于我们对将来价格的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。股票价格的Markov性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨道。股票价格的Markov性质与市场的弱形式的有效性有关。这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。考虑一个随机过程的变量。假设它现在的值为10，在任何