第10讲 直线形的割补

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1、第10讲直线形的割补　　在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.　　由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：　　定理两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.　　这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.　　有人认为.没告诉方法的定理价值一定

2、不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分).开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”(即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形

3、一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.　　另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造)出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.　　这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等)，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.问题10.1某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图10-1)，并写着：“若哪位

4、顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.　　　　同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？　　分析图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破，再重新拼接.　　解如图10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端A和A’作底边的垂线AD、A＇D＇；分别连接D、D＇与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把△1、△2平行移动到△1′、△2＇的位置.最后把四边形3旋转1800

5、后，平行移动到四边形3＇的位置即补合.　　问题10.2前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有4棵大树(图10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大1倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？　　　　分析初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图10-4中的a＇b＇c＇d＇开拓池塘就能使池塘面积扩大1倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.　　可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？　　问题10.3图10-5(1)所示的

6、卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图10-5(2)的形状，你能办到吗？　　　　解按图10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转1800(即翻一个面)，再接上去即得.见图10-6(2).　　　　如果你掌握了以上切拼的技巧(切成45°)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.问题10.4蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图10-7所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分成四块给班上的四个组管理.　　　　她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.　　你说怎么分才好

7、？　　本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：　　“要把梯形分割。应设法找到梯形的相似形.要做到这一步，就需要深入地思考.这当然是一个涉及‘内在联系’的问题”.　　请同学们根据苏格拉底的提示按要求把梯形分成四块.问题10.5有一块长24米、宽15米的长方形地毯.现要把它移到长20米、宽18米的新房里去.请找一种剪裁方法.使剪后的各块拼合后正好能铺满新房间的地面.为了使剪后的地毯尽量完整，一个十分自然的要求即是还要使裁剪的块数尽可能地少.分析地毯的面积为24×15=360(平方米).新房间面积为18×20

8、=360(平方米).两者面积相等，但长、宽不等.因为24比20多4.18比15多3.这里我们自然想到要根据这多出的3和4在原地毯上画出30个3×4(平方米)的小长方形组成的长方形网，如图10-8(1)中虚线，再把最前(或最后)一列的五个小长方形割下来.补到上(或下)一排上去，即补成了图10-8(2)的形状.它正好铺满新房间的地面.　　　　但这样分割得割成6块