涡量流函数方法 平板驱动流 数值模拟

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1、《计算流体力学》课程大作业——基于涡量-流函数法的不可压缩方腔驱动流问题数值模拟张伊哲航博1011、引言和综述2、问题的提出，怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式3、程序说明4、计算结果和讨论5、结论1引言虽然不可压缩流动的控制方程从形式上看更为简单，但实际上，目前不可压缩流动的数值方法远远不如可压缩流动的数值方法成熟。考虑不可压缩流动的N-S方程：(1.1)其中是运动粘性系数，认为是常数。将方程组写成无量纲的形式：(1.2)其中Re是雷诺数。从数学角度看，不可压缩流动的控制方程中不含有密度对时间的偏导数项，方程表现出椭

2、圆-抛物组合型的特点；从物理意义上看，在不可压缩流动中，压力这一物理量的波动具有无穷大的传播速度，它瞬间传遍全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何位置满足，这就是椭圆型方程的物理意义。这就造成不可压缩的N-S方程不能使用比较成熟的发展型偏微分方程的数值求解理论和方法。如果将动量方程和连续性方程完全耦合求解，即使使用显示的离散格式，也将会得到一个刚性很强的、庞大的稀疏线性方程组，计算量巨大，更重要的问题是不易收敛。因此，实际应用中，通常都必须将连续方程和动量方程在一定程度上解耦。目前，求解不可压缩流动的方法主要有涡量-流函

3、数法，SIMPLE法及其衍生的改进方法，有限元法，谱方法等，这些方法各有优缺点。其中涡量-流函数法是解决二维不可压缩流动的有效方法。作者本学期学习了研究生计算流体课程，为了熟悉计算流体的基本方法，选择使用涡量-流函数法计算不可压缩方腔驱动流问题，并且对于不同雷诺数下的解进行比较和分析，得出一些结论。本文接下来的内容安排为：第2节提出不可压缩方腔驱动流问题，并分析该问题怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式、选择边界条件。第3节介绍程序的结构。第4节13/13对于不同雷诺数下的计算结果进行分析，并且与U.GHIA等人【1】的

4、经典结论进行对比，评述本文所采用的计算方法。第五节给出结论。2问题的提出和分析2.1经典方腔驱动流问题考虑如下图所示的长度为1的正方形腔体，腔体上有一平板以速度U=1运动，其它三边为固壁条件。图1.方腔驱动流示意图顶盖方腔驱动流问题是个很经典的问题，常常用于验证不可压缩流动数值方法的正确性。U.GHIA等人于1982年发表的一篇文献（见文献【1】）计算了Re从100到的流动结果，其结果得到广泛的认同。2.2涡量-流函数方法简介涡量-流函数法的基本思想是引入涡量和流函数：引入涡量，可以消去方程中的压力项，而引入流函数，可以

5、使连续方程自然满足。下面对该方法进行简单推导：考虑二维问题，将式(1.2)写成分量形式：式(1.4)对求偏导数减去式(1.5)对求偏导数，考虑到13/13，推导出涡量满足的方程为(1.6)然后引入流函数，定义为(1.7)可见，连续性方程(1.3)自然成立。与的关系为(1.8)式(1.6)~(1.8)构成了一个封闭的方程组，由(1.6)计算出涡量，再由(1.8)式计算出流函数，利用(1.7)式计算出速度。这个方程组的特点是求解速度的时候完全不用考虑压力项。若还需要求解压力场，则可以把式(1.4)对求偏导数，式式(1.5)对

6、求偏导数，二者求和后整理得到关于压力的Poisson方程(1.9)以上推导出的涡量-流函数法在计算二维问题时很成功，但是三维流动的流函数没有直观的物理意义，无法像二维流动一样直接定义，需要引入多个流函数，相应解多个Poisson方程，计算量很大，并不实用。对于本文的二维问题，该方法就简单易行。2.3建立差分格式2.3.1划分网格方腔驱动流的流动区域很简单，均匀划分为正方形的结构网格即可，存储网格时，x方向使用标号i表示，y方向使用标号j表示，x和y方向的最大网格点标号分别为M和N。对于Re小于等于1000的情况，使用10

7、0*100网格，Re大于1000后的情况，使用256*256网格。计算域如图2所示：13/13图2.100*100的均分网格2.3.2建立差分方程由于本题关注的是方腔内部的流动状态，对于压力分布不关心，因此不用建立压力的差分方程。涡量的对流扩散方程(1.6)使用FTCS格式离散得到：(1.10)该差分格式时间方向为1阶精度，空间方向为2阶精度。在(1.10)中，速度分量取的是n时刻的值，已经对方程进行了线性化处理。流函数的Poisson方程中，二阶导数都用中心差分离散：(1.11)这种中心差分可达到二阶精度。2.3.3设

8、定边界条件（1）速度和流函数的边界条件由于沿着壁面是一条流线，所以流函数在边界是常值，可以取为0；速度在边界满足无滑移条件。上边界（）：；下边界（）：；13/13左边界（）：；右边界（）：；（2）涡量的边界条件根据涡量的定义，在上下边界，，所以；在左右边界，，所以。；左边界（）：这里引入了虚拟网格点（-1,j），注意