粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型

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1、2009河南科技大学第六届大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所选择的题号：A参赛队员(打印并签名)：1.2.3.组

2、长联系方式：18粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型摘要本文通过建立数学模型研究了有关在粗糙表面上的纳米颗粒体积的估算的问题。本文主要解决了一下几个问题：1.设计计算机自动识别纳米颗粒的方法的问题；针对这一问题本文依据纳米颗粒的判别方法（在突起部分中高度大于或等于5nm的是纳米颗粒），在MATLAB软件中编制了一套能判别某个突起是否为纳米颗粒的程序。只要输入所需数据（突起高度）就能达到自动识别纳米颗粒的目的。2.纳米颗粒体积的估算问题；在解决这个问题时，本文将纳米颗粒分别近似看作圆锥体、有抛物线旋转形成的抛物球体及椭球体（仅是其中的一半）。由此我们建立了三个估

3、算模型，在求解过程中本文利用微积分思想分别求出了纳米颗粒的总体积。最后我们考虑到各种模型的近似程度有所不同，我们对三个模型所求得的结果进行加权并求得平均值，最终结果视为纳米颗粒的估算值，以减小不同模型体积估算的偏差。但是鉴于时间较短，不可能做到十全十美，因此我们的模型是可以接受的。例如，本文将纳米颗粒近似看作了理想的规则体，而事实上纳米颗粒的形状是不规则的，因此本文所求得的结果可能存在较大的误差。只有借助高精密仪器，再结合微积分思想才能得到更为精确的结果。本文在求解过程中，使用了MATLAB,SPASS等数学软件，并建立了自动识别纳米颗粒的流程图，使得识

4、别过程简明易懂。从而使本文的模型具有一定的可行，且估算结果具有相当高的精确性。18一、问题重述纳米粒子（nanoparticle），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm(nanoscale)颗粒的集合体。纳米粒子是纳米科技中的一个极为重要的方面，因为它在生物医学、光学和电子学等许多领域有重要的潜在应用价值。原子力显微镜(AFM)是对纳米粒子进行表征的最重要工具之一。AFM具有原子级的高分辨率，可以提供纳米粒子实时、实空间的三维图像，因而可以提供纳米粒子许多物理性质的定性和定量信息，如大小、形貌、表面结构和粗糙度等，也可以得到包括粒子大小、表

5、面积、体积分布等统计信息。为方便观察和简化计算分析，目前利用AFM观察纳米粒子和其他结构的纳米材料绝大部分在粗糙度极小（<1nm）的硅片或云母片表面进行。但在实际应用中，我们常常需要研究在粗糙表面上的纳米粒子。由于粗糙表面的复杂结构，很难得到关于纳米粒子的大小和体积分布等的准确信息。下图是在一种高分子材料表面形成的纳米颗粒的AFM图像。(a)(b)图1.在一种高分子材料表面生成的纳米颗粒的二维（a）和三维(b)AFM图像。。高分子材料表面在纳米级是不光滑的，有一定的起伏，图1(a)中颜色较深的地方为凹陷部分，颜色较浅的为突起部分。一些高分子材料还有结晶结

6、构，图1(a)中出现的一些条带结构是其片晶。图1(a)中的颜色较浅的点和图1(b)中的突起部分则是在这种高分子材料表面形成的纳米颗粒。18现在要设计一种算法来估算在粗糙的高分子材料表面形成的纳米颗粒的体积。其中有几点说明：1图2中看似山峰的突起部分，其中高度大于或等于5nm的是纳米颗粒，是需要计算的；而低于5nm的则是高分子材料自身的结晶结构，不参加计算。以此虚线为底面计算高于5nm为纳米颗粒低于5nm为基材、图2图32对于图3的情形，有明显凹进去的部分，它是由于化学反应过程中出现的高分子基材表面破裂现象，因此计算突起部分体积时高度仍以基材表面为底面。3

7、对于图4的情形，有三个峰，都是生成的纳米颗粒，但是形成过程中，这三个颗粒紧挨在了一起，计算时高度也应以高分子材料表面为底面。以此虚线为底面计算图4在B2009data-2nm文件中给出了在2mm×2mm范围内均匀分布的512×512个纳米材料高度数据（单位纳米）。请你1.设计一个计算机自动识别纳米颗粒的方法，并计算出图1中纳米颗粒的总体积。2.给出检验你的算法精确度的一个方法，并按你提出的方法来验证题1结果的精确度。二、模型假设1.在进行模型假设时，只同时考虑抛物线旋转体型、圆锥型或者椭圆旋转体型三种中的一种。2.进入计算程序的纳米颗粒严格的均匀分布在所

8、给定的范围内。3.模型为旋转体，底部假设为圆，且面积相等。4.出现n个颗粒连体时