2012年兰州市第一次诊断考试数学试卷及答案

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1、2012年高三诊断考试卷数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．题号后标注“理科”的试题为理科考生解答，标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答．2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1．（理科）已知复数满足（为虚数单位），则=（）(文科)集合，则2.函数的反函数为3．

2、设等比数列的前项和为，若，则（）4．已知点（），则“且”是“点在圆”外的（）5．（理科）已知向量与互相垂直，且为锐角，则函数的一条对称轴是（）高三诊断数学（理）第2页（共14页）(文科)已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是（）6．曲线在点处的切线与直线和所围成的区域内（包括边界）有一动点，若，则的取值范围是（）7．（理科）已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）（文科）已知向量与互相垂直，且为锐角，则函数的一条对称轴是(）8．（理科）在三棱柱中，各

3、侧面均为正方形，侧面的对角线相交于点，则与平面所成的角的大小是（）（文科）已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（）9．（理科）若函数，且的最小值等于，则正数的值为（）（文科）在三棱柱中，各侧面均为正方形，侧面的对角线相交于点高三诊断数学（理）第2页（共14页），则与平面所成的角的大小是（）10．（理科）过点的直线与椭圆交于，线段的中点为．设直线的斜率为（，直线（为坐标原点）的斜率为，则等于（）（文科）若函数，且的最小值等于，则正数的值为（）11．正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两

4、顶点的连线称为它的对角线．若一个正棱柱有10条对角线，那么（）12．已知为双曲线（）的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为直线上一点，为坐标原点，已知且，则双曲线的离心率为（）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．。　14．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则三棱锥外接球的表面积是。15．（理科）若则。　（文科）展开式中，不含项的系数之和为，则　　　　　。16．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为.高三诊断数学（理）第

5、2页（共14页）三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）（理科）的三内角的所对的边分别为，且（为锐角），（Ⅰ）求的大小．　　（Ⅱ）若且,求的面积(文科)设等差数列的前项和为,若求:（Ⅰ）；　　（Ⅱ）的最小值.18．（本小题满分12分）（理科）某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3人参加当天闯关比赛，已知

6、甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为（Ⅰ）求三人中恰有一人获奖的概率；（Ⅱ）记三人中获奖的人数为，求的数学期望.（文科）的三内角的所对的边分别为，且（为锐角），（Ⅰ）求的大小．　　（Ⅱ）若且,求的面积高三诊断数学（理）第2页（共14页）19．（本小题满分12分）（理科）如图，三棱柱中，底面正三角形，侧面是的菱形，且侧面底面，为中点．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若点为上的一点，当时，求二面角的正切值．（文科）某城市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健

7、身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者这间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3人参加当天闯关比赛，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为（Ⅰ）求三人中恰有一人获奖的概率；（Ⅱ）记三人中获奖的人数为，求的数学期望.高三诊断数学（理）第2页（共14页）20．（本小题满分12分）（理科）已知数列中，（Ⅰ）求数列的通项公式.（Ⅱ）已知的前项和为，且对任意正整数，都有成立．求证：（文科）如图，三棱柱中，底面正三角形，侧面是的菱形，且侧面底面，为中点．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）

8、若点为上的一点，当时，求二面角的正切值．高三诊断数学（理）第2页（共14页）21．（本小题满分12分）（理科）已知点是直线上的动点，为定点，过点且垂直于直线的直线和线段的垂直平分线相于点．（Ⅰ）求点的轨迹方程（Ⅱ）经过点且与轴不垂直的直线与点的轨迹有两个不同的交点，若在轴上存在点，使得为正三形，求实数的取值范围．（文科）已知函数的导数满足，其中常数（Ⅰ）判断函数的单调性并指出相应的单调区间；（Ⅱ）若方程有三个不相等的实根，且函数在上的最小值为，求实数的值.22．（本小题满分12分）（理科）已知函