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1、第十六章隐函数定理及其应用第一节隐函数一、隐函数概念显函数只含自变量，如；中只含自变量，如。而方程分别确定了两个函数：。在这样的情况下，因变量与自变量的关系是由方程所确定的。设满足方程，若存在集合使得对，满足方程,则称由方程确定了一个定义在上且值域含于的隐函数，若记其为则成立等式,如,通过解方程有,。例1方程能确定一个定义在上的隐函数.如果从方程中把解出,这个函数可表示为显函数的形式.它的几何意义是,平面曲线是空间曲线与平面的交线. 例2方程能确定出定义在上函数值不大于0的隐函数.它的几何意义是,平面曲
2、线与是空间曲面与平面的两条交线. 例3 方程能确定一个定义在上的函数,使得 . 第十八章隐函数及其应用第106页共106页但这个函数却无法用的算式来表达.在一般情况下,我们主要考虑方程能否确定隐函数以及这个隐函数的连续性和可微性,而不管它是否能用显示来表示. 类似地理解由方程所确定的元隐函数的概念.若存在点为内点的区域,对,通过方程对应惟一的一个,设,有 ,则称元函数是由方程所确定的隐函数.问题：1.是否每个方程都能确定隐函数？否，如当不能,故须探讨隐函数的存
3、在条件.2.如知道方程确定了隐函数是否都能通过解方程的形式解出隐函数，化隐为显，从而研究显函数.①有可能解不出.如开普勒方程确定隐函数，事实上故反函数存在，但求不出来.②解得出来，但不容易.③即使能解出来，形式也未必简单.从而导致我们关心：1.在什么条件下方程能确定隐函数；2.在知道了方程确定了隐函数，在不化隐为显的前提下直接由定义此隐函数的方程来研究隐函数的性质.以上两个问题构成了隐函数这部分的主要内容.二、隐函数存在性条件的分析在几何上表示曲面与曲面第十八章隐函数及其应用第106页共106页的交线，
4、从而隐函数存在的问题等价于上述曲面和平面是否存在交线或从而必有及（如在（0,0）处，便不能确定隐函数），若还需所定义的隐函数为连续函数，则的连续性是必须的。三、隐函数定理定理16-1（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件函数在以为内点的某一区域上连续；；在内存在连续偏导；。则在点的某邻域内，方程唯一确定了一个定义在某区间内的函数使得：，当时且；在连续。证明由条件：,不妨设由条件内连续,则一定存在的某一闭方邻域使得其上每一点处都有,从而对，作为的一函数在上严格单增且连续，由条件知。再由的连续性(条件)可知
5、在上连续，有局部保号性知,当时这表明函数在矩形区域的边上取负值取正定值。故对内每一个固定的，都有而第十八章隐函数及其应用第106页共106页作为的一元函数在上严格递增且连续知,由在中的任意性知。这便确定了一个隐函数，,。记，则由证明过程知满足的各项要求。再证在连续。在内任取一点，记，显然对即有,由的严格单调增加知,又由的连续性知当时由前证知，由的唯一性知，这说明当时，在连续，由的任意性知在连续。注1.定理16-1的条件为充分条件，如有但在的邻域内能确定的隐函数,但条件不满足时结论可不成立；2.有的条件可
6、削弱。如；3.定理16-1中若换为，则可确定隐函数若有，也有呢?定理16-2隐函数可微定理 设满足定理16-1中条件,又设在内还存在连续的偏导数,则由方程所确定的隐函数在其定义域内有连续的导数,且第十八章隐函数及其应用第106页共106页 证 设,,则它们所对应的函数与都含于内.已知 所以 于是 已知在连续,从而当时,有,又已知在内连续,且在内不等于零,故有 且在内连续.注1.若知隐函数存在，则可用复合
7、函数求导法推出上面公式；2.隐函数的高阶导数可由链式法则推出。定理16-3若函数在以点为内点的区域上连续,并满足:第十八章隐函数及其应用第106页共106页(1)(2)在内连续(3)则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在的某邻域内的元连续函数使得① 当时 且 ②在内有连续偏导数:且证明从略.四、隐函数求导实例例4讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数的一阶、二阶导数。解记（*）在连续第十八章隐函数及其应用第106页共106页在存在连续，故当即且满足的点附近。方程（*）皆能确定隐
8、函数且令，即代入原方程得点令，即代入原方程设点）曲线在点分别有平行于轴和轴的切线在点附近处不能确定隐函数。例5方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或解记显然在上连续。存在且连续。，而能在原点的某邻域内确定形如的连续可微隐函数。但，不满足定理16-1的条件，故不能由定理16-1确定它是否有形如的隐函数存在的结论.由于,即为函数的稳定点。又第十八章隐函数及其应用第106页共106页，这说明在原点假设极小值，故知方程在原点的任何邻域内不能确定形如的
