高三数学第二轮专题讲座复习：处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（1） (2)

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1、高三数学第二轮专题讲座复习：处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（1）高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出　本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训

2、练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力(4)应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题典型题例示范讲解例1已知奇函数f(x)是

3、定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x

4、1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值命题意图本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力知识依托主要依据函数的性质去解决问题错解分析题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域技巧与方法借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值解由且x≠0,故0

5、∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2

6、2

7、1≤x≤}={x

8、1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4例2已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出

9、符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由命题意图本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力知识依托主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题错解分析考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法技巧与方法主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题解∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即co

10、s2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－21,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2另法(仅限当m能够解出

11、的情况)cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,］恒成立，等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ)对于θ∈［0,］恒成立∵当θ∈［0,］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ)≤4－2，∴m>4－2例3　已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0解∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不

12、等式可化为　　log2(x2+5x+4)≥2　　　　　　①或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2②由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x

13、x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}学生巩固练习1设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，