§10.7微分方程在经济学中的应用

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1、§10.7微分方程在经济学中的应用一.市场动态均衡价格模型二.人口增长模型三.提高劳动生产率模型四.具有价格预期的市场模型机动目录上页下页返回结束教学目标1.了解微分方程在经济学中的简单应用.§10.7微分方程在经济学中的应用微分方程是研究经济问题的一个重要工具.经济学中的许多经济变量之间的关系及其内在规律都是以微分方程的形式来表现的.本节我们将介绍微分方程在经济学中的几个简单应用模型.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束一.市场动态均衡价格模型一种商品的价格主要由市场的供需关系来确定,若商品的需求函数与供给函数分别为（其中均为正常数）.当供给量与需求量相等时,即得则称

2、为该商品的均衡价格.机动目录上页下页返回结束一般地说,当市场上该商品价格供大于求时,价格将下跌;供不应求时,价格将上涨.因此,该商品在市场上的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格上下波动.价格P为时间t的函数,已知初始价格根据上述供应关系变化影响价格变化的分析,可以假设在任一时刻t,价格P(t)变化率总与这一时刻的超额需求成正比(比例常数k>0).机动目录上页下页返回结束其中k为比例系数,它反映价格的调整速度.根据上述假设,可得微分方程(10.6.1)在经济学中,人们通常把方程(10.6.1)称为动态价格调整模型.将代入方程(10.6.1),得(10.6.2)机动目录上页下页返回结

3、束这是一个一阶非齐次线性微分方程,其通解为(10.6.3)由于为常数,故当时,从而价格均衡价格.由此可见,随着时间的推移,价格趋向于均衡价格.实际从经济学的意义上来看.P(t)的表达式的两项各具鲜明的经济意义:为均衡价格,而就是价格的均衡偏差.上,机动目录上页下页返回结束二.人口增长模型如何预测某个国家或地区的人口总数,是人们普遍关注的一个问题.下面介绍几个人口预测模型.1.指数增长模型(Malthus模型)该模型由英国传教士、人口学家马尔萨斯(Malthus)于1789年发表在《人口学原理》一书上.马尔萨斯提出人口模型的基本假设:人口增长率是常数.即单位时间内人口的增长量与当时的

4、人口成正比.下面用“微元法”来建立马尔萨斯描述的人口增长的微分方程模型.机动目录上页下页返回结束假设t时刻的人口为x(t),经过一段短的时间后,在时刻,人口数量变化为由基本假设,在短时间内,人口数量的增加量与当时的人口x(t)成正比.不妨假设比例系数为即在内人口的增量可写为于是x(t)满足的微分方程如下:(10.6.4)机动目录上页下页返回结束称为Malthus模型.人口随时间指数增长,因此也称为指数增长模型.马尔萨斯人口论的核心内容是:人口按几何级数增长,而生活资料则按算术技术增长,两者的矛盾必然要给人类社会进步造成障碍.人口会不会无限增长?因为人口的增加要受到自然条件等因素的约

5、束,在一定的生产条件下,存在一个最大的人口容量.美国人口统计数据表明,1860年以前它是一阶线性微分方程,容易求得解为事实上是不会的.机动目录上页下页返回结束人口统计数据与指数增长模型吻合较好,之后,两者有较大的差异.人口学家的解释是,人口较少时,土地等自然条件可以尽可利用,这时人口增长率近似于常数;当人口达到一定数量以后,受到自然条件限制,增长率随人口的增长而减少.这时,人口增长率为常数的假设不再适用了,需要构造增长率随人口数量变化的关系式.机动目录上页下页返回结束2.阻滞增长模型(logistic模型)Malthus模型在1840年由比利时人口统计学家费尔胡斯特(Verhuls

6、t)所修正.他提出的假设包括:(1)由于自然资源的约束,人口存在一个最大容量(2)增长率随人口的增加而减少,当人口数量x(t)远小于时,人口以固定增长率增加;当x(t)接近时,增长率为零.满足上述性质的增长率可以写成(10.6.5)机动目录上页下页返回结束这样,Malthus模型(10.6.4)变为(10.6.6)它是一个可分离变量的一阶微分方程,分离变量得,上式两端积分,得机动目录上页下页返回结束即由初始条件得代入上式,得(10.6.6)微分方程(10.6.6)称为阻滞增长模型或逻辑斯谛(Logistic)模型.其解曲线(10.6.7)称为逻辑斯谛曲线.机动目录上页下页返回结束更

7、复杂的人口模型需要考虑随时间和人口变化的人口增长率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇女和人口龄分布有关的人口基数,此外还要考虑自然灾害、战争等随机因素对人口的影响.在经济学中,凡是增长率与现实值x(t)及接近饱和水平的程度之积成正比的变量(为饱和值),其变化均遵循逻辑斯谛曲线的变化规律.由于在经济学中增长率、变化率,通常都用“边际”来表示,所以这类模型在经学、人口学与生物学中都有广泛的应用.机动目录上页下页返回结束三.提高劳动生产率模型发展经济、增加生产有两个重要