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1、第四章习题解 4.2设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，m1=0，s1=2，m2=2，s2=2，p(x)~N(m,s)，窗函数P(ω1)=P(ω2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。解：1x已知， 由Bayes最小损失判决准则：如果，则判，否则判。如果，则判，否则判。-3，-2属于ω1；1，3，5属于ω2。 4.7在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用ω1和ω2表示，它们的先验
2、概率分别为0.7和0.3，损失函数如表3.1所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下： ：0.1，0.15，0.3，0.6x1 x2 x3 x4 x：0.8，0.7，0.55，0.3（1） 试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型；（2） 假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型；（3） 将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。表3.1类型损失判决ω1ω2a1(判为ω1)0.52.0a2(判为ω2)4.01.0a3(拒绝判决)1.51.
3、5解：（1）两类问题的Bayes最小误判概率准则为如果，则判，否则判。由已知数据，q12=0.3/0.7=3/7，样本x1：∵l12（x1）=0.1/0.8q12=3/7x3Îω1样本x4：∵l12（x4）=0.6/0.3>q12=3/7x4Îω1 （2）不含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为如果，则判，否则判。由已知数据，q12=0.3´（2-1）/[0.7´（4-0.
4、5）]=3/24.5，样本x1：∵l12（x1）=1/8>q12=6/49x1Îω1样本x2：∵l12（x2）=3/14>q12=6/49x2Îω1样本x3：∵l12（x3）=6/11>q12=6/49x3Îω1样本x4：∵l12（x4）=6/3>q12=6/49x4Îω1 （3）含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为其中条件风险：后验概率：记 (4.7-1)则，含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为对四个样本逐一列写下表，用(4.7-1)式计算r(aj
5、x)。样本x1：l(aj
6、ωi) 类
7、型损失判决ω1p(x
8、ω1)P(ω1)=0.1´0.7=0.07ω2p(x
9、ω2)P(ω2)=0.8´0.3=0.24 r(aj
10、x) a1(判为ω1)0.52.00.5*0.07+2*0.24=0.515a2(判为ω2)4.01.04*0.07+1*0.24=0.52a3(拒绝判决)1.51.51.5*0.07+1.5*0.24=0.465因为r(a3
11、x1)=0.465最小，所以拒绝判决；样本x2：l(aj
12、ωi) 类型损失判决ω1p(x
13、ω1)P(ω1)=0.15´0.7=0.105ω2p(x
14、ω2)P(ω2)=0.7´0
15、.3=0.21 r(aj
16、x) a1(判为ω1)0.52.00.5*0.105+2*0.21=0.4725a2(判为ω2)4.01.04*0.105+1*0.21=0.63a3(拒绝判决)1.51.51.5*0.105+1.5*0.21=0.4725因为r(a1
17、x2)=0.4725最小，所以判x2Îω1，即灌木丛，或拒绝判决；样本x3：l(aj
18、ωi) 类型损失判决ω1p(x
19、ω1)P(ω1)=0.3´0.7=0.21ω2p(x
20、ω2)P(ω2)=0.55´0.3=0.165 r(aj
21、x) a1(判为ω1)0.52.00.5
22、*0.21+2*0.165=0.435a2(判为ω2)4.01.04*0.21+1*0.165=1.005a3(拒绝判决)1.51.51.5*0.21+1.5*0.165=0.5625因为r(a1
23、x3)=0.435最小，所以判x3Îω1，即灌木丛；样本x4：l(aj
24、ωi) 类型损失判决ω1p(x
25、ω1)P(ω1)=0.6´0.7=0.42ω2p(x
26、ω2)P(ω2)=0.3´0.3=0.09 r(aj
27、x) a1(判为ω1)0.52.00.5*0.42+2*0.09=0.39a2(判为ω2)4.01.04*0.42+1*0.
28、09=1.77a3(拒绝判决)1.51.51.5*0.42+1.5*0.09=0.765因为r(a1
29、x4)=0.39最小，所以判x4Îω1，即灌木丛。 4.9假设两类二维正态分布参数为m1=(-1，0)’，m2=(1，0)’，先验概
