离散数学课后答案

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1、1.21.分析下列语句哪些是命题，哪些不是命题；如果是命题，指出其真值：a)北京是中国的首都。b)上海是全国人口最多的城市。c)今天天气多么好啊d)11+1=100.e)雪是黑色的，当且仅当5>0.f)全体起立！g)不存在最大素数。h)x+6≥16.i)白色加红色可以调成粉红色。j)明天你去看电影吗?k)火星上有生物。答：a)的真值为T;b)的真值为T；c)不是命题；d)的真值为F；e)F；f)不是命题；g)F；h)不是命题；i)T；j)不是命题；k)F。3.将下列命题符号化。a)小李不但聪明而且用功。b)昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题。c)如果天

2、下大雨，他就在体育馆内锻炼。d)除非天下大雨，否则他不在室内运动。e)不经一事，不长一智。a)设P:小李聪明；Q:小李用功则本例符号化为：P∧Qb)设P:小赵昨天晚自习时做了二三十道数学题则本例符号化为:Pc)设P:天下大雨；Q：他在体育馆内锻炼则本例符号化为：P→Qd)设P:天下大雨；Q：他在室内运动则本例符号化为：

3、P→

4、Qe)设P:经一事；Q:长一智则本例符号化为：

5、P→

6、Q4.将下列复合命题分成若干原子命题。a)今天天气炎热，且有雷阵雨。b)如果你不去比赛，那么我也不去比赛。c)我既不看电视，也不去看电影，我准备做作业。d)四边形ABCD是平行

7、四边形，当且仅当它的对边平行。答：a)原子命题为：今天天气炎热；今天有雷阵雨b)原子命题为：你去比赛；我去比赛；c)原子命题为：我看电视；我看电影；我做作业；d)原子命题为：四边形ABCD是平行四边形；四边形的对边平行；1.31.判别下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。a)(Q→R∧S)；b)(P←→(R→S))；c)((

8、P→Q)→(Q→P))；d)(RS→K)；e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))；答:a)不是合式公式。b)是合式公式。c)是合式公式。d)不是合式公式。e)是合式公式2.根据定义，说明下列公式如何形成合式公式

9、。a)(A→(A∨B))；b)((

10、A∧B)∧A)；c)((

11、A→B)∨(B→A))；答：a)由合式公式的定义中的规定(1)A、B本身是一个合式公式；由规定(3)(A∨B)是一个合式公式；由规定(4)再次应用(3)可得式(A→(A∨B)；b)由合式公式定义规定(1)A、B本身各是一合式公式；由规定(2)

12、A是一合式公式；由规定(4)应用(3)得(

13、A∧B)是一合式公式；再应用(3)得原式是一个合式公式。c)由合式公式定义规定(1)A、B本身各是一合式公式；由规定(2)

14、A是一合式公式；由规定(3)(

15、A→B)、(B→A)各是合式公式；由规定(4)应用(

16、3)得到的式子为合式公式。3.设P、Q的真值为0；R、S的真值为1；求下列各命题公式的真值。a)P∨(Q∧R)；b)(P←→R)∧(

17、Q∨S)；c)(P∧(Q∨R))→((P∨Q)∧(R∧S))；d)

18、(P∨(Q→(R∧

19、P)))→(R∨

20、S).5.试以真值表证明下列命题。a)合取运算的结合律是P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧R；真值表如下：最后两列的值完全相等，因此可证明合取运算结合律正确。(答案及点评)PQRP∧QQ∧RP∧(Q∧R)(P∧Q)∧R00000000010000010000001101001000000101000011010001111

21、111b)析取运算的结合律；(答案及点评)b)析取运算的结合律是P∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R；真值表如下：最后两列的值完全相等，因此可证明析取运算结合律正确。PQRP∨QQ∨RP∨(Q∨R)(P∨Q)∨R00000000010111010111101111111001011101111111011111111111c)合取(∧)对析取(∨)之分配律，(答案及点评)c)见下表:可证：P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)PQR(Q∨R)P∧QP∧RP∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)00000000001100000101000001110000100

22、00000101101111101101111111111d)德摩根律。(答案及点评)d)此律公式为

23、(P∨Q)=

24、P∧

25、Q；

26、(P∧Q)=

27、P∨

28、Q,现取前者证明，真值表如下：PQP∨Q

29、P

30、Q

31、(P∨Q)

32、P∧

33、Q00011110111000101010011100006下表为含有两上变元的命题公式的各种情况真值表，对于每一列试写出一个至多包含此两个变元的命题公式。PQ12345678910111213141516TTFFFFFFFFTTTTTTTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTFTFFTTFFTTFFTTFFTTFFFTFTFTFTFTFT

34、FTFT·1.(

35、P∧P)2.

36、(P∨Q)·3.

37、(Q→P)·4.

38、P·16.(

39、P∨P)·1