全国通用版版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第讲函数的单调性与最值优选学案

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1、第5讲　函数的单调性与最值考纲要求考情分析命题趋势理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2017·天津卷，62017·浙江卷，172016·北京卷，42016·北京卷，10函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的范围.分值：5分1．增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.(1)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1

2、义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__.2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__.3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：13(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我

3、们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．4．函数单调性的常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1f(x2)图象法函数图象是上升的函数图象是下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增＋递增递减＋递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反5．对勾函数的单调性对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减

4、区间为(－，0)和(0，)，且对勾函数为奇函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)(2)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．(　×　)(3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．(　×　)(4)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　√　)解析　(1)错误．一个函数有多个单调区间时应分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不

5、能用“或”连接．(2)错误．f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的．(3)错误．举反例：设f(x)＝x，g(x)＝x－2都是定义域R上的增函数，但是f(x)·g(x)＝x2－2x在R上不是增函数．13(4)正确．易知函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确．2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　B　)A．y＝e－x　　　B．y＝x3C．y＝lnx　　　D．y＝

6、

7、x

8、解析　由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B．3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)A．2　　　B．－2C．2或－2　　　D．0解析　当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C．4．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.解析　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝logt与t＝g(x

9、)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．5．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__[2，＋∞)__.解析　∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)时，函数f(x＋a)单调递增，∴2－a≤0，∴a≥2.　一　判断(或证明)函数的单调性对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的

10、单调性有两种方法：(1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断，但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．【例1】判断并证明函数f(x)＝(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．解析　f′(x)＝＝.又a>0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．13二　求函数的单调区间求函数单调区间的常用方法(1)利用