2017年各地中考最后一道题

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1、1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由

2、．【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵抛物线

3、过A（0，3），第134页（共134页）∴c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠O

4、B，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ==，BQ==

5、2t﹣3

6、，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有

7、2t﹣3

8、=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=

9、2t﹣3

10、，解得t=；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用t表示出PM

11、和ON的长是解题的关键，在②第134页（共134页）中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．　2．如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，

12、直接写出翻折点后E的对称点坐标．【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c即可得到结论；（2）由y=x2﹣x﹣2求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论；（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线

13、EE′的解析式为y=x﹣3，设E′（m，m﹣3），根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c得，，第134页（共134页）∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），在y=x2﹣x﹣2中，当x=0时，y=﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（3，﹣2），∴BD∥x轴，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴DE=m，PE=m2﹣m﹣2+2，或PE=﹣2﹣m2+m+2，∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°，∴DE=PE，∴

14、m=m2﹣m，或m=﹣m2+m，解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去），∴PE=5或1，P（1，﹣3），或（5，3）；（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此时，E（5，﹣2），∴DE=5，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴设直线EE′的解析式为y=x+b，∴﹣2=×5+b，第134页（共134页）∴b=﹣，∴直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），∴E′H=﹣2﹣m+=