导数与微分(二)求导初步

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1、定理设函数在点可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也均在处可导，且（1）（2）为常数）推广：  （3）例1设，求。解 例2设，求。解 例3设，求。解 例4设，求。解 例5，求。解例6，求。解既,同样方法可求出的导数。例7例8求下列函数的导数（1）（2）解（1）   （2） 前面我们讲反函数的连续性时讲过，区间I上的单调连续函数的反函数仍然是单调连续函数，现在我们假定它的导数存在来研究其反函数导数的情况。定理：如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且     即反函数的导数等于直接函数

2、导数的倒数。例9求函数的导数。解是的反函数，在内单调可导，且所以在(-1，1)内可导，且由     所以同理可得，，复合函数的求导方法是一非常重要的方法，因为一个复杂的函数不仅可由一些简单函数经四则运算得到，也经常由函数的复合运算而构成，因此我们必须研究复合函数的求导方法。定理如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且证：由于在可导，因此存在，因此其中时的无穷小，当时，用乘上式两端得当=0时，规定=0，则上式仍然成立，两端除以得取极限得即                        例10设，求。解设，则，用

3、复合函数求导公式得 例11，求。解设，则， 例12，求。解 利用复合函数求导公式还可得复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形，如设，则的导数为或例13，求。解求导熟练后，可不写出中间变量，按复合顺序层层求导即可，大家要能做到这一点。如上例注意：例14求下列函数的导数（1）（2）（3）解（1）（2） （3） 注意：符号与的区别。如：例15下列写法哪个正确1．设，则（1）（2）（3）2．设，则 3．设，则例16设下列函数可导，求它们的导数（1）（2）（3）解（1）（2）（3）例17设可导，且，求解例18已知，求解

4、，，，所以例19设是可导的偶函数，证明：是奇函数。证明：因是偶函数，等号两边对求导，，即所以是奇函数。此结论也可用导数的定义证明。