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1、内积的特征向量与分解摘要对任意两向量W和X的内积w·X=wixi，存在着两个与W和X共面的特征向量γ1和γ2，它们的平方γ和γ恰等于w和X的内积γ=γ=W·X=wixi。反过来，对任一大于或等于零的常数θ(θ≥0)，至少存在一对(二维)向量W(w1，w2)和X(xl，x2)，使得θ=wixi=W·X。关键词：向量；内积；内积特征向量；常数的内积分解第10页共11页InnerproductfeaturevectorandthedecompositionAbstractForanytwovectorWandXproductWX=wixi,t
2、heexistenceoftwoandWandXcoplanarfeaturevectorgamma1andgamma2,gammaandgammatheirsquareexactlyequaltoWandXdotγ=γ=W·X=wixi.Conversely,foranygreaterthanorequaltozero(0constanttheta=0),thereexistsatleastonepairof(2D)vectorW(W1,W2)andX(x1,x2),thetheta=wixi=WX.Keywords:vector；i
3、nnerproduct；productcharacteristicvector；constantinnerproductdecomposition第10页共11页目 录1引言（绪论）……………………………………………………………………51.1问题的提出……………………………………………………………………52研究方法………………………………………………………………………………52.1一般方法……………………………………………………………………53正文……………………………………………………………………53.1几何方法…………………………
4、……………………………63.1.1内积W·X=wixi的特征向量γ1和γ2………………………………63.1.2常数的向量内积分解……………………………………………83.2代数方法………………………………………………………………………………94结论（结束语）…………………………………………………………………9主要参考文献…………………………………………………………………………………11致谢……………………………………………………………………………………………12第10页共11页1引言考虑两向量的内积的非标量化的几何意义，或者任一大于或等于
5、零的常数分解为两个向量的内积问题，在数据处理、文本相似度计算及人工智能领域中有着重要的应用前景[1].文献[1]借助向量及其内积的几何意义，证明了对任意两向量W和X的内积W·X=wixi，存在两个与W和X共面的向量γ1和γ2使得
6、γ1
7、2=
8、γ2
9、2=W·X=wixi.反之，对任一大于或等于零的常数θ，至少可分解为一对二维向量W和X的内积，即θ=wixi=W·X，其推论是θ=wixi=W·X。1.1问题的提出本文将考虑其一般分解问题，找出所有W和X共面的向量γ使得
10、γ
11、2=W·X=wixi，并证明在一般情况下，满足上述条件的向量γ有无穷
12、多个，而今在一种特殊情形下，恰存在两个这样的向量。2研究方法文献[1]中是考虑在几何空间中的情况，所用方法是解析几何中的矢量方法。为了得到一般结果，本文拟采用代数方法，以及代数与几何相结合的方法，并将几何空间中的结果推广到一半欧式空间中，主要涉及到度量矩阵、二次型及连续函数理论。2.1一般方法一般方法是：取定n维欧式空间V的一组标准正交基a1，a2，...an,对任意两向量W和X,W=wiai,X=xiai,当(W,X)≥0时,记γ=kW+X,则由于(γ,γ)=k(W,W)+2k(W,X)+(X,X),当(γ,γ)=(W,X)时,则得到
13、kwi2+2kwixi+xi2=wixi,即kwi2+(2k-1)wixi+xi2=0,本文要从上式中说明其有解,而且希望能由一个解得到所有满足要求的向量γ.3正文在现行教科书中,向量w=(w1,......wn)和X=(x1,......xn)的内积(标量积、数量积或点积)被定义为W·X=
14、w
15、
16、X
17、COSа，其中，
18、w
19、和
20、X
21、分别为w和X的长度或模，a为W和X的夹角[2]。其几何意义被解释为：向量W的长度(或模)乘以向量X的长度在X上的投影。于是，当W和X正交和重合时，它们的总积w·X将因a分别为900和00而分别等0和1。对向量
22、W=w1i+w2j+…+wnk和X=x1i+x2j十...十xnk而言.因i·i=j·j=k·k=1，和i·j=i·k=j·k=0，故：W·X=wixi是一个常数,所以，向量内积也被称为数量积。这个结果，除
