国小数学—关於图形与空间

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1、國小數學—關於圖形與空間講師：徐惠玲地點：慈濟國小時間：98.9.9今日研討重點一、為什麼學生找得到長和寬，但是不會做長方形面積？長度單位1公分，面積單位1平方公分、體積單位1立方公分，單位要怎麼教學生才不會弄錯？大型面積、體積該怎麼教學生才能學會？複合式圖形面積、表面積、體積的教學關於國中數學學習問題---表徵對幾何解題的重要性國小數學—關於圖形與空間國小數學教材的五大主題1.數與量2.幾何3.代數4.統計與機率5.連結國小數學—關於圖形與空間課程設計1.理論依據2.實作國小面積教材實作〈一〉長方形面積教學正方形面積教學平行四邊形教學—

2、類化與內化、代數式與內在語言〈私語〉的省思梯形面積教學國小數學—關於圖形與空間實作國小面積教材實作〈二〉大型面積的類推與演譯V.S.1平方公尺等於幾平方公分？體積的教學長方體體積的教學正方體體積的教學大型體積的類推與演譯V.S.1立方公尺等於幾立方公分？1公升等於幾立方公分？複合式體積的教學關於圖形與空間教材的理論近年來世界先進國家(如美國、俄國）大都以荷蘭數學教育家VanHiele夫婦的幾何學習發展理論為根據，設計幾何方面的教材。(劉好，民89）在圖形與空間教材發展上所依據的學習發展理論－－VanHiele夫婦所提出的五個發展層次(劉好

3、，民89；朱建正，民91）VanHiele夫婦的幾何學習發展理論—教學應著眼於學生到底如何學習VanHiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次均有其發展特徵。（劉好，民89）第O層次－－視覺期（Visualization）第一層次－－分析期（Analysis）第二層次－－關係期（Relation）或非形式演繹期（InformalDeduction）第三層次－－形式演繹期（FormalDeduction）第四層次－－嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）第O層次－－視覺期---約是國小低年級階段學生此

4、階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。第一層次－－分析期約國小中年級階段學生此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且

5、可以利用實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。第二層次－－關係期（Relation）約國小高年級階段此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內

6、在屬性關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在了解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n邊多邊形的內角和為（n－2）*180度等概念。第三層次－－形式演繹期約為國中階段達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖形的性質，而且能夠證明，並了解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間

7、的差異性。例如：能了解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。第四層次－－嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異，也可了解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。各年級學生達到的發展層次根據VanHiele研究顯示1.上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。--2.同時，亦由

8、於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的了解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗