数学归纳法证明例题

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1、1．已知函数的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：（1）由过的切线方程为：①②而过故∵③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴（2）当又在[－3，1]上最大值13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。依题意在[－2，1]上恒有≥0，即①当；②当；③当综上所述，参数b的取值范围是一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证

2、明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。注意（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步骤（1），无法递推上去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定。同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论。缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。（2

3、）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。例1．用数学归纳法证明：．证明：①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即：．那么当n=k+1时，有：这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n等

4、式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n=k+1时．这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例3．证明不等式(n∈N)．证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立②假设n=k时，不等式成立，即．那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目

5、标是，当代入归纳假设后，就是要证明：．1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()An=1Bn=2Cn=3Dn=42已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________3用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*4观察下列式子…则可归纳出1解析由题意知n≥3，∴应验证n=3答案C、、、3证明(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1

6、)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除4解析(n∈N*)