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《合肥工业大学系统工程导论第章 图与网络》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章图与网络图与网络是运筹学的一个重要分支。其中，图论是从实践中抽象出来的最早的数学问题之一，如1736年欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”、“哈密尔顿环问题”以及“地图四色问题”等。随后又发展出网络理论，并应用于电路分析、运输系统、信息论、工程设计和管理等方面。本章着重介绍有关图与网络的基本概念，以及网络最优化的两个基本问题——最短路问题和最大流问题。一、图与网络的基本概念1.概念的引入图论的理论和方法可用于解决企业管理、交通运输、日常生活等许多不同领域的问题，例如，在运输规划中，应怎样合理地组织运输路线和运量，使总的运费最省；又如，在组织生产时，应如何安排各
2、生产工序间的衔接，才能使生产任务完成得既快又好；再如，邮递员送信时，应选择何种路线才能使所走的距离最短等。这些问题都可以用图论的方法进行求解。在实际生活中，人们为了反映某些对象间的关系，常用点和线画出各种各样的示意图。例1我国北京、上海等10个城市间的铁路交通示意图如图所示，它反映了这10个城市的铁路分布情况。图中，用点代表城市，点与点之间的连线代表两个城市之间的铁路线。诸如此类的示意图还有电话线分布图、煤气管道图、航空线图等。2.基本概念（1）图图：图是由一些点以及点之间的连线所组成的。其中，这些点又称为顶点。边（弧）：两顶点之间不带箭头的连线称为边；带箭头
3、的连线称为弧。边（或弧）上相应的数值称为边（或弧）的权。无向图：由点和边构成的图称为无向图（简称图），记作G=(V，E)，其中V、E分别是G的顶点集合和边的集合。连接两顶点vi,vj∈V的边e记为e=(vi，vj)或e=(vj，vi)。有向图：由点和弧构成的图称为有向图，记作D=(V，A)，其中V、A分别是D的顶点集合和弧的集合。从起始点vi∈V指向终点vj∈V的弧a记为a=(vi，vj)≠(vj，vi)。多重边和环：两个顶点间具有两条以上的边称为多重边；若边的两端为同一顶点则称其为环，如图1（参见P82图4-1）中的“边7”。多重图和简单图：含多重边的图称为
4、多重图；无环且无多重边的图称为简单图。本章讨论的图一般都是简单图。图1环图2支撑子图-51-支撑子图：如果图G=(V，E)，G'=(V'，E')且V'V，E'E，则称G'为G的子图，如图2(b)所示（参见P82图4-2(b)）；若在同一图中，V'=V，E'E，则称G'为G的支撑子图，如图2(c)所示（图4-2(c)）。（2）链链：在图G=(V，E)中，由一些顶点和边所组成的交错序列{v1,e1,v2,e2,…,vk-1,ek,vk}就称为一条联结顶点v1、vk的链。开链和闭合链：起点和终点不是同一顶点的链，则称其为开链，否则就称其为闭合链。单纯链和基本链：一条
5、没有重复边的链称为单纯链，如图3（参见P82图4-3）中的边序列{5,6,2,7,8}；一个没有重复顶点的链称为基本链，如图3中的边序列{1,2,3}。路和回路：一个开的基本链称为路，如图中的边序列{1,6,7,3}；一个闭合的基本链称为回路，如图中的边序列{1,6,5}。连通图：如果在一个图中任意两个不同的顶点之间至少有一条路，则该图就称为连通图。图3链图4树（3）树树：如果连通图G的子图Gl也是连通的，并包含了G的所有顶点，且没有回路，则称Gl为G的一个生成树（简称树），记为T，如图4（参见P83图4-4）中的(b)、(c)、(d)即为图(a)的树：T1=
6、{l,3,5}，T2={2,3,5}，T3={2,4,5}。组成树的边就称为树枝。树的性质如下：树的任意两个顶点之间只有一条链；在树中不相邻的两个顶点间添上—条边，则恰好得到一个回路；在树中去掉任何一条边，则成为不连通图；含有n个顶点的树，则有n-1条边。例2已知有五个城市，试问如何在它们之间架设电话线，使任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市），且电话线的根数最少？解用五个点v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市，如果某两个城市之间架设电话线，则在相应的两点之间连一条边，则该电话线网就可以用一个图来表示。为了使任何两个城市都可以互相通话，则此图必须是
7、连通图；另外，若此图中有回路，从回路上任意去掉一条边，使余下的图仍是连通的，且可以省去一根电话线。因此，满足要求的电话线网所对应的图必定是一个树，如图5所示。（注意：由于连通图对应的树有多个，故这里只给出了其中一个树）图5电话线网图6割集-51-（4）割集割集：将连通图分割为两个子图所需割断的最少边集就称为割集，如图6（参见P83图4-5）中的边集{8,9}、{1,3,6}、{4,5,6}等。注意：割集的定义表明，当去掉构成割集的一组边时，则原连通图被分割成相互分离的两部分；而只要少去掉一条边，则被分开的两部分仍是连通的。例如，边集{7,8,9}就不是割集，因
8、为移去这个边集可以使图分离为两部分，但
