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1、设计成绩：重庆邮电大学信息与计算科学专业《数值计算方法》课程设计线性方程组的求解方法姓名：班级：学号：设计时间：2012.6.3——2012.6.11指导教师：罗燕17一、课程设计目的1.在误差允许的范围内（计算精度为），在，在循环次数较少的情况下，雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法以及选择适当的松弛因子用SOR迭代法编程求解方程组.2．进一步加深对Matlab的学习。3．通过上机操作，更好地锻炼实践动手能力。二、课程设计内容题目：取计算精度为，用雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法以及选择适当的松弛因子用SOR迭代法编程求
2、解方程组：三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等）3.1雅可比迭代法3.1.1理论知识设有n元线性方程组AX=b,其中系数矩阵A的对角元素0（i=1,2,3,…,n）从方程组的第i个方程中可以解出,可得到以下等价方程组（1.1）17记，其中，D为A的对角线矩阵，L为A的下三角阵，U为A的上三角阵.即则式（1.1）可用矩阵形式写为：令于是（1）式又可写为(1.2)迭代计算的过程为：首先取：X（0）=（x10,x20,…,xn0）T将其代入（1.1）右端得:即X(1)=BX(0)+d再将X(1)代入式（1）右端得，求的X
3、(2)=BX(1)+d如此反复进行迭代，一般地X(k+1)=BX(k)+d,k=0,1,2,⋯(1.3)即：（1.4）由此即得到一个向量序列X(k)，若X(k)k→∞X*，则X*就是方程组AX=b的解，这种求解线性方程组（1.1）解的方法称为雅克比迭代法，矩阵B称为迭代矩阵.为了便于编制程序，可将（1.3）改写成如下形式：17,当,则输出,结束。否则，执行下一步。最大迭代次数（max_iter）设定，当max_iter>=50,可认为该迭代法不收敛，终止程序。3.2高斯赛德尔迭代法3.2.1理论知识仔细研究雅克比迭代法
4、我们不难发现，在逐个求的分量时，分量，，…，都已求得，但却未被利用，而是仍用旧分量，，…，进行计算。事实上，最新计算出来的分量更比旧的分量接近方程新的分量求得后，组的准确解。因此，设想当新的分量求得后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快的接近方程组的准确解。基于这种设想构造的迭代公式就称为高斯—赛德尔迭代法。其具体迭代过程如下：任取X（0）=（x10,x20,…,xn0）T，第一次迭代为反复迭代，便得到下面的迭代公式：17（2.1）类似地，（1）式可用矩阵形式表示为：上式两端左乘D得移项得因为(i=1,2,…，n)，
5、所以行列式，故将上式两端左乘得令则（2.2）迭代公式（1）或（2）称为解线性方程组AX=b的高斯—赛德尔迭代法，矩阵G称为迭代矩阵。为了便于编制程序，可将（1）式改写为如下形式：(2.3)由于当新的分量求得后，便马上用它来代替旧的分量。因此高斯—赛德尔迭代法与雅克比迭代法相比有一个明显的优点，就是上机计算时已不需要两组工作单元存放和，而仅需一组工作单元用来存的分量。当计算出就冲掉旧分量17，其计算量与雅克比迭代法相比，但计算速度加快且储量又小，故高斯—赛德尔迭代法可看做是雅克比迭代法的一种修正。3.3SOR迭代法3.3
6、.1理论知识松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的一种加速方法，其基本思想是将高斯-赛德尔迭代法得到的第k+1次近似解向量X（k+1）与第k次近似解向量X(k)作加权平均，当权因子（松弛因子）ω选取适当时，加速效果很显著。因此，这一方法的关键是如何选取最佳松弛因子，现具体介绍如下：设有线性方程组AX=b将矩阵A分解为A=I-B，则该方程组等价于：X=BX+d（3.1）于是迭代公式为：X(k+1)=BX(k)+d（3.2）由于第k次近似解X(k)并非AX=B的解，故b-AX(k)≠0.令r(k)=b-AXk其中r(k)成为剩余
7、向量。于是（3.2）可改写为：X(k+1)=I-AXk+b=X(k)+b=X(k)+b-AX(k)=X(k)+r(k)(k=0,1,2……)上式说明，应用迭代法实际上是用剩余向量r(k)来改进解的第k次近似，也就是说，第k+1次近似是由第k次近似加上剩余向量r(k)而得到的。为了加速X(k+1)的收敛速度，可考虑给r(k)乘上一个适当因子ω，从而得到一个加速迭代公式：X(k+1)=X(k)+ω（b-AX(k)）（3.3）其中ω成为松弛因子。式的分量形式为：Xi(k+1)=Xi(k)+ω(bi-j=1naijxj(k))
8、（3.4）i=1,2,…n;k=0,1,2,…只要松弛因子ω选择得当，由上式算出的第k+1次近似就会更快地接近方程组AX=b的解，从而可以达到加快收敛速度的目的。考虑到高斯-赛德尔迭代法的程序设计简单，且已充分利用了最新计算出来的分量的信息，故依上述加速收敛思想，对高斯-赛德尔迭代法加以修正，便得到下面的逐次超松弛迭代法，简称SO
