07 第5章高斯-克吕格投影

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1、1第五章高斯-克吕格投影（Gauss-KrügerProjection）蒲英霞南京大学地理与海洋科学学院2011年11月3日2高斯-克吕格投影的基本原理和公式通用横轴墨卡托（UTM）投影3§5-1高斯-克吕格投影的基本原理和公式名称由来德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。投影性质等角横切椭圆柱投影4概念假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切，椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面

2、上，并将此椭圆柱面展为平面，即得本投影。图5-1高斯-克吕格投影示意图5投影条件1.中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；2.投影具有等角性质；3.中央经线投影后保持长度不变。6高斯-克吕格投影的基本公式（5-1）7根据第一个条件，投影函数具有对称性，即在数学上具有奇偶性。8根据上述条件，将投影函数展开为的幂级数：（5-3）（5-2）其中a0、a1、a2、a3，….是待定系数，分别是纬度的函数。9根据第二个条件，必须满足下列等角条件：等角投影条件为：即将E、G的偏导数形式代入，得10由经纬线投影后仍保持正交得F=0，即经变换后，可以得：代入前式，有：11化简得：同理

3、可得：考虑到H=（EG-F2）=(x/)(y/)-(y/)(x/)是一个面积元素，恒为正，在上面两式的开方中，只有当第一个式子取负号，第二个式子取正号时，才恒成立。所以等角条件还可以表示为：12前面（5-3）式（5-4）中的偏导数分别为：13将这些偏导数代入等角条件（），则有：（5-5）要使上式成立，须有：（5-6）14若概括为一般形式，则有：其中，k=0，1，2，…。因此，高斯-克吕格投影公式的最后确定，在于求出各系数ai(i=0,1,2,…,n)的形式。15根据第三个条件，中央经线保持长度不变，有：有了a0之后，其他系数可以逐个求出，分别如下：1617高斯—克

4、吕格投影的直角坐标公式：（5-7）为经差将以上求得的各个系数ai（i=0,1,2,…,n）代入前面的方程，加以整理，有：18球面高斯—克吕格投影的直角坐标公式：将球体半径R代入前面的椭球面高斯-克吕格投影的直角坐标方程，有：19经纬线形状：本投影通常是按一定的经差分带投影，每带的经差一般不大（6或3）。20图5-2高斯-克吕格投影全球经纬格网21当=0时，x=0，y随的变化而变化，即赤道投影为直线且为y轴。当=0时，y=0，即中央经线投影也是直线，且为x轴；由x=s知，其长度与实地相等；两轴的交点即为坐标原点。当为常数时，增加，x增大，y减小。经线是凹向中央经线的曲线，收

5、敛于两极。当为常数时，增加，x增大，y增大。纬线是凸向赤道的曲线。22长度比公式将（5-4）式求得的偏导数23代入长度比公式，并加以整理，有：将上式开方，并按以下公式展开（5-8）则得24长度变形特征：25当=0时，=1，证明了本投影的第一个条件，即中央经线投影后无长度变形。在同一条纬线上，长度变形随经差的增大而增大；在同一条经线上，长度变形随纬度的减小而增大，在赤道上长度变形为最大。在上式中，和cos都是偶次方且各项均为正号，故长度变形恒为正，除中央经线外，其他任何线段都变大了。由于cos为小于1的值，其2次方和4次方更小，所以长度变形的大小，主要取决于。26子午线收

6、敛角x轴的正向与过已知点所引经线切线间的夹角。-dx-dyxyo-dyNA′F图5-3子午线收敛角27由于对取导数比较复杂（参见公式5-4），以下利用等角条件加以变换，得：-dx-dyxyo-dyNA′F图5-3子午线收敛角28或利用下式将x、y对的偏导数代入，仅限于三次项，则有：-dx-dyxyo-dyNA′F图5-3子午线收敛角按1/(1+x)展开：=1-x+x2-x3+x4-x5+…29将a1、a2、…值代入上式，有因为角甚小，按反正切函数的级数展开:30（5-9）最后整理得：31在同一条经线（中央经线除外）上，纬度愈高，角愈大，在赤道上=0；随经差和纬度

7、的增加而增大；在同一条纬线上，愈大，角愈大，在中央经线上=0；上式为奇函数，所以角有正有负，其符号与同带经差的符号相一致。子午线收敛角的变化规律：32投影带的划分1∶2.5万—1∶50万地形图采用经差6分带；1∶1万比例尺地形图采用经差3分带。33图5-4高斯-克吕格投影分带的两种划分方法346分带从0子午线起，由西向东每6为一带，将全球划分为60带，带号用1、2、3……60表示。凡是6的整倍数的经线即为分