4.2.2 圆与圆的位置关系 有答案

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1、4．2.2　圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．温馨提示：两不相等的两圆有以上五种位置关系，它们的公切线情况如下(1)两圆相外离，有四条公切线；(2)两圆相外切，有三条公切线；(3)两圆相交，有两条公切线；(4)两圆相内切，有一条公切线；(5)两圆相内含，没有公切线．2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示D与r1、R2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r

2、2

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、0

7、r1－r2

8、(2)代数法：设两圆的方程分别为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含圆系方程：(1)若直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)相交于P、Q两点，则过交点P、Q的圆的方程可

9、设为(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)这些圆的圆心均在公共弦PQ的垂直平分线上且以PQ为直径的圆最小．(2)过C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程．类型一　圆与圆位置关系的判断【例1】已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2

10、＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1、C2(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[思路探索]　求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．解　对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，r1＝4；C2(2a,1)，r2＝1.∴

11、C1C2

12、＝＝a.(1)当

13、C1C2

14、＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当

15、C1C2

16、＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切；(2)当3＜

17、C1C2

18、＜5，即3＜a＜5时，两

19、圆相交；(3)当

20、C1C2

21、＞5，即a＞5时，两圆外离；(4)当0＜

22、C1C2

23、＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．[规律方法]　判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，一是几何法，但因代数法运算繁琐，且容易出错，因此一般采用几何法．【活学活用1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？解　(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距

24、d＝＝2.又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，∴r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交．(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则d＝＜3－1，即(m＋1)2＜0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C1与圆C2内含．类型二　两相交圆的公共弦问题7【例2】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[思路探索]　将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长．也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成

25、直角三角形这一性质求解．解　联立两圆的方程得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．法一　设两圆相交于点A，B则A，B两点满足方程组解得或所以

26、AB

27、＝＝2，即公共弦长为2.法二　由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.设公共弦长2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长2l＝2.[规律方法]　求两圆的公共弦所在的直线方程时，若采用相减法，必须注意两圆方程中

28、二次项的系数是否相同，只有二次项的系数相同时，才能利用相减法来处理．若二次项的系数不相同，需先将两圆的二次项的系数调整为相同．【活学活用2】(1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的