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时间:2017-11-08
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1、第一章质点运动学1.1一质点沿直线运动,运动方程为x(t)=6t2-2t3.试求:(1)第2s内的位移和平均速度;(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.[解答](1)质点在第1s末的位置为:x(1)=6×12-2×13=4(m).在第2s末的位置为:x(2)=6×22-2×23=8(m).在第2s内的位移大小为:Δx=x(2)–x(1)=4(m),经过的时间为Δt=1s,所以平均速度大小为:=Δx/Δt=4(m·s-1).(2)质点的瞬时速度大小为:v(t)=dx/dt=12t-6t2,因此v(1)=12×1-6×
2、12=6(m·s-1),v(2)=12×2-6×22=0质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即Δs=Δx=4m.(3)质点的瞬时加速度大小为:a(t)=dv/dt=12-12t,因此1s末的瞬时加速度为:a(1)=12-12×1=0,第2s内的平均加速度为:=[v(2)-v(1)]/Δt=[0–6]/1=-6(m·s-2).[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2一质点作匀加速直线运动,在t=10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为,并由上述数据求出量值.[证明]依题意得vt=nvo,根据速度公式vt=vo+at,得a=(n
3、–1)vo/t,(1)根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as,得a=(n2–1)vo2/2s,(2)(1)平方之后除以(2)式证得:.计算得加速度为:=0.4(m·s-2).1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m·s-2.问:70m22.5º图1.3(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角?[解答]方法一:分步法.(1)夹角用θ表示,人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为vy0=
4、v0sinθ=24.87(m·s-1).取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式vt-v0=at,这里的v0就是vy0,a=-g;当人达到最高点时,vt=0,所以上升到最高点的时间为t1=vy0/g=2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:vt2-v02=2as,可得上升的最大高度为:h1=vy02/2g=30.94(m).人从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为;h2=h1+h=100.94(m).根据自由落体运动公式s=gt2/2,得下落的时间为:=4.49(s).因此人飞越的时间为:t=t1+t2=6.98(s).人飞越的水平速度为;vx
5、0=v0cosθ=60.05(m·s-1),所以矿坑的宽度为:x=vx0t=419.19(m).(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:vy=gt=69.8(m·s-1),落地速度为:v=(vx2+vy2)1/2=92.08(m·s-1),与水平方向的夹角为:φ=arctan(vy/vx)=49.30º,方向斜向下.方法二:一步法.取向上为正,人在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2,移项得时间的一元二次方程,解得:.这里y=-70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:t=6.98(s).由此可以求解
6、其他问题.1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt=-kv2,k为常数.(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.[证明](1)分离变量得,故,可得:.(2)公式可化为,由于v=dx/dt,所以:积分.因此.证毕.[讨论]当力是速度的函数时,即f=f(v),根据牛顿第二定律得f=ma.由于a=d2x/dt2,而dx/dt=v,a=dv/dt,分离变量得方程:,解方程即可求解.在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正
7、比,则dv/dt=-kvn.(1)如果n=1,则得,积分得lnv=-kt+C.当t=0时,v=v0,所以C=lnv0,因此lnv/v0=-kt,得速度为:v=v0e-kt.而dv=v0e-ktdt,积分得:.当t=0时,x=0,所以C`=v0/k,因此.(2)如果n≠1,则得,积分得.当t=0时,v=v0,所以,因此.如果n=2,就是本题的结果.如果n≠2,可得,读者不妨自证.1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ=2+4t3.求:(1)t=2s时,它的法向加速度和切向加速度;(2)当
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