热力学统计物理圈题及答案

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1、1.1试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为　（1）由此易得　（2）　（3）　　（4）1.2证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为　　（1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为（2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有（3）若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由

2、最终变到，有即（常量），或　　　　（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。1.12假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足（1）用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得　（2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可将式（2）改定为（3）将上式积分，如果是温度的函数，定义　　（4）可得（常量），　　（5）或（常量）。　（6）式（6）给出当是温度的函数时，理想气

3、体在准静态绝热过程中T和V的关系。1.16理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由升至。假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为　（1）在等压过程中温度由升到时，熵增加值为　　（2）根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为　　　（3）在等容过程中温度由升到时，熵增加值为　　（4）所以　　　（5）1.17温度为的1kg水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使

4、水温从升至？已知水的比热容为解：的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由升至。在这可逆过程中,水的熵变为　　（1）水从升温至所吸收的总热量为为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中，热源的熵变为　　　　　　　（2）由于

5、热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为　　　　　　　　　（3）为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为　　　（4）参与过程的整个系统的总熵变为　　　（5）1.19均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为，端温度为，温度梯度为（设）。这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温

6、度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为的许多小段，如图所示。位于到的小段，初温为　　　（1）这小段由初温T变到终温后的熵增加值为　　　　　　　（2）其中是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为（3）式中是杆的定压热容量。2.1　已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度.试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为（1）式中是体积的函数.由自由能的全微分得麦氏关系（2）将式（1）代入，有（3）由于，故有.这意味着，在温度

7、保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2　设一物质的物态方程具有以下形式：试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：（1）故有（2）但根据式（2.2.7），有　（3）所以　（4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.2.3　求证：　　　解：焓的全微分为（1）令，得（2）内能的全微分为（3）令，得（4）2.4　已知，求证解：对复合函数　　（1）求偏导数，有　（2）如果，即有（3）式（2）也可以用雅可比行列式证明：（2）2.9　证明范

8、氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）（1）范氏方程（式（1.3.12））可以表为（2）由于在V不变时范氏方程的p是T的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）（3）我们知道，时范氏气体趋于理想气体.令上式的，式中的就是理想气体的热容量.由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积与温度不呈线性关