凌波微步-数学建模融入基础课程教学

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1、凌波微步---数学建模融入基础课程教学李尚志北京航空航天大学数学建模主要思想利用数学知识解决问题实际问题-建模数学模型i求解实际解检验-数学解咏数学建模数学精微何处寻,纷纭世界有模型.描摹万象得神韵,识破玄机算古今.岂是空文无实效,能生妙策济苍生.经天纬地展身手,七十二行任纵横.将数学建模思想引入基础课程教学（一）利用基础课知识建立模型解决问题:(1)来自现实生活的实际问题(2)数学自身发展提出的问题将数学建模思想引入基础课程教学（二）从问题出发建立数学模型解决“发明”出基础课程的知识---人类的旧知识,学生的新知识凌波微步=数学建模数学建模主要

2、思想实际问题-建模数学模型i求解实际解检验-数学解难以解决-转化容易解决凌波微步:打不赢就跑-转化跑到打得赢的地方再打2021/6/12润物细无声：应用案例随风潜入夜:概念的引入方程个数的真与假方程组有几个方程？3个?2个?某个方程是其余方程的线性组合线性相关问题：怎样判断a,b,g线性无关？分别解三个方程？xa+yb=g,xa+yg=b,xb+yg=a只须解一个方程xa+yb+zg=0看它是否有非零解线性相关与线性无关“打假”到底:极大无关组,秩方程组线性相关有多余的方程（是其余方程的线性组合）删去多余的方程----打假将打假进行到底极大

3、线性无关组剩下的方程的个数----秩rank极大线性无关组，秩问题：秩的唯一性方程组(A1,A2,A3)与(B1,B2)互为线性组合A1=a11B1+a12B2A2=a21B1+a22B2A3=a31B1+a32B2x1A1+x2A2+x3A3=0:未知数个数>方程个数有非零解(x1,x2,x3)A1,A2,A3线性相关.方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立抽象向量空间二元一次方程组的几何意义行列式的定义方程组可写成向量形式即1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中就是同理得

4、图2因此,于是3.二阶行列式—平行四边形面积称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图24.代数算法可写成其中三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义两边同时与方程作内积消去y,z,得到类似地可以得到y,z的表达式。当时得从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in两两不相等的项,

5、(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:几何模型线性变换前后的图形2021/6/12向量方向的变化2021/6/12选取特征向量为基2021/6/12数模赛案例.足球队排名根据足球比赛成绩给出各队实力名次X1…Xj…XnX1…a1j…a1n……………Xiai1…aij…ain……………Xnan1…anj…ain根据对手实力对得分加权先验实力比：x1,…,xj…,xn后验实力比：y1,…,yj…,yny1=a11x1+…+a1jxj+…+a1nxn…………yi=ai1x1+…+aijxj+…+ainxn…………yn=

6、an1x1+…+anjxj+…+annxnY=AX=lX,X是特征向量线性代数空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)研究工具----代数：矩阵运算向量(问题)矩阵语言描述矩阵运算解决向量(解答)与微积分的关系:非线性--微积分线性--线性代数多元微积分：线性代数模型微积分基本思想:非线性线性复合函数的导数:2021/6/12隐函数存在定理F(x,y)在某点P0可微何时由F(x,y)=0确定y=f(x)?一般F不好解决凌波微步线性化:aDx+bDy0,y=f(x)在x0可微,导数为2021/6/12隐函数存在定理严格证明F

7、(x,y)=0.将F(x,y)线性化得:aDx+bDy+d(Dx,Dy)=0解得Dy=f(Dx,Dy)=Dx+d(Dx,Dy)迭代:Dy0=0,Dyn=Dx+d(Dx,Dyn-1).则Dyn-Dyn-1=dy’(Dyn-1-Dyn-2)选Dx,Dy的范围充分小,可使

8、dy’

9、<0.5且充分小,Dyn收敛到所需范围.2021/6/12可微函数n个方程=0,线性化即当detB时有唯一解隐映射定理2021/6/12一元微积分物理：以匀速代替非匀速几何：以直代曲（只能看不能算）代数：以线性代替非线性例.自由落体x=4.9t2.求t秒末的速度.解：x(t+Dt)=

10、4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2线性化：x(