基于时域有限差分法的软件设计

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1、第一章引言1.1时域有限差分法技术的发展计算电磁学是现代电磁场理论、现代数值计算方法、现代计算机技术相结合所产生的一门交叉学科。计算电磁学以电磁场理论为基础，以高性能计算机技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，为电磁场理论的研究提供了有力工具。当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类：一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法，如有限差分法系列。有限差分法简称差分法，这种方法以简单、直观的特点而得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线性方程，以致高阶或非

2、线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计算机求其数值解。特别的，作为一种电磁场数值计算方法，时域有限差分法（Finite-DifferenceTime-DomainMethod）具有一些非常突出的优点（直接时域计算、节约存储空间和计算时间、适合并行计算、简单），得到了越来越广泛的应用。1966年，K.S.Yee提出了时域有限差分法的基本原理，他在论文中用后来被称为Yee网格的空间离散方式，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这就诞生了后来被称为时域有限差分发（FDTD）的一种新

3、的时域计算方法。近十年来，它倍受专家、学者青睐，被称为90年代重要的电磁场计算方法之一。在最初20年的发展中，主要解决的是以下一些问题：吸收边界的应用和不断改善；总场区和散射场区的划分；实现稳态场的计算。80年代后期以来，时域有限差分法由成熟转入被广泛接受和应用，在应用中又不断有新的发展。在这一阶段主要解决了以下几个问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的差分格式；超吸收边界条件和色散吸收边界条件等。时域有限差分近期发展的另一个特点是迅速扩大了它的应用范围。在80年代中期它还主要应用于电磁

4、场散射问题，到80年代中期首先成功地用到了生物电磁剂量学问题的计算的电磁热疗系统的计算机模拟。到80年代后期，证明了时域有限差分法用于微波电路的时域分析非常成功。进入90年代以来又被用于天线辐射特性的计算问题。随着新技术的不断提出，应用的范围和质量正在不断地扩大和提高。301.2时域有限差分法的特点作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的特点，也是它的优点。最重要在以下几个方面：（1）直接时域计算时域有限差分法把含时间变量的Maxwell旋度方程在Yee氏网格中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场（或磁场）分量仅与

5、它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，随时间步的推进，能够直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时域有限差分法能够直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，则只需要对时域信息进行Fourier变换，为获得宽频带的信息，只需要在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。（2）广泛的适用性。由于Maxwell方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对于广泛的问题是不变的，具有最广泛的适用性，近几年的发展也证实了这点。从具体的算法看，在时域有限差分法的差分格式中，被模拟

6、空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此只需设定相应空间点以适当的参数，就可以模拟复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性的等均能很容易的进行精确模拟。不管是色散、辐射、传输、透射或吸收中的哪一种，也不论是瞬态问题还是稳态问题，只要能正确的对源和结构进行模拟，时域有限差分法就能给出正确的解答。此外，吸收边界条件和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟跟以上部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同问题或不同计算对象只需要修改有关部分，而大部分是通用的。（3）

7、节约存储空间和计算时间。30在时域有限差分法中，所需的存储空间直接由所需的网格空间定，在计算时，每个网格都按同样的差分格式计算，所以所需的时间也与网格总数N成正比。相比之下，若离散单元是N，则矩量法所需的时间也与成正比，而所需的CPU时间则与至成正比，当N较大时，两者之间的差别是明显的。（1）适合并行计算。当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提高计算速度。如前面所指出的，时域有限差分法的计算特点是，每一个网格点上的电场（或磁场）分量仅与它相邻的磁场（或电场）分量及上一步该点的场值有关，这使得它特别适合并行计算。施行并行计算可使时域有限

8、差分法所需的存储空间和计算时间减少为只与成正比。（2）计算程序的通用性。由于Maxwell方程是时域有限差分