方程的根与函数的零点教学设计

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1、“方程的根与函数的零点”教学设计山西省教育科学研究院薛红霞一、教学内容解析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．函数f(x)的零点，是指使得函数y=f(x)的函数值为0的自变量x的值．教材中给出的定义是：对于函数y=f（x），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f（x）的零点．这个定义是用学生熟悉的方程的根给出的．定义通常给出的是一个充要条件，由此可见它们之间的关系，因此教材中进一步解释定义：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．将二者结合起来进行分析，可以得到如下结论：1．三维角度认识问题．方程f(x)=0的根x0，就是

2、使得函数y=f(x)的值为0时的自变量x的值x0，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标x0．三者有着内在的统一，但是其外部表现形式又不同，就好像一个人在不同的环境中扮演着不同的身份一样．正如教师用书中提出的：“给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈．”2．为什么要学习函数的零点？教学用书中指出：“之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质．”可以从以下几个方面解释：（1）

3、作为函数的应用，运用函数解决更广泛的方程问题．体现在：求方程f(x)=0根的问题可以转化为函数y=f(x)的函数值为0时，求相应的自变量的值的问题，因此其中渗透了化归思想、函数思想．（2）用上位知识统领下位知识．体现在：函数y=f(x)是一个整体，当函数值y取特殊的数值时就得到一个方程，如：f(x)=0，或者f(x)=3，等等．但是后一个方程又可以转化为前一个方程，只是相应的函数关系式有所改变．因此可以用函数观点统领函数、方程以及不等式，三位一体，方能应用自如，灵活解题．反映了一个客观存在的关系：整体与局部的关系，体现了数形结合思想．对于函数的零点的存在性的判定方法：如果函数y=f（x）在区

4、间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根．对于这个判定方法，要从以下几个方面理解：（1）函数图象是连续的；（2）区间端点异号是充分不必要条件；（3）“存在”的含义是至少有一个．教学时要用适当的方式让学生理解，不要求给出“充分条件”的名称．因此本节课的教学重点是：类比研究形成函数的零点的定义，探究发现函数零点存在性的判定方法．二、教学目标解析1．了解函数的零点与方程根的联系，理解函数的零点的定义．（能区分零点与点，能了解其中的三维特征，及蕴含的数学思

5、想．）2．初步掌握函数零点的判定方法．（能结合函数图象判断函数零点的存在，即判断方程根的存在性．）2．结合函数图象与数值表等不同表示形式，通过观察分析具体问题，理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点．了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论．3．通过具体实例的解决，掌握利用函数的图象和性质进一步判断函数零点个数的方法．3．通过本节课的活动，使学生理解基本知识中蕴含的数学思想，了解类比研究问题的方法，在函数零点的存在性判定方法的学习过程中，感受探究发现的过程和方法．三、教学问题诊断分析1．由于受已有知识的负迁移影响，学生可能会将“函数

6、的零点”误以为是点，教学时可以在正面强化的基础上，给出合理的解释，不要只强调记忆；2．由于学生比较熟悉解方程，所以在讨论方程的根的存在性时，对于简单的、特殊的方程，尤其是一元二次方程，学生可能会先入为主地选择求出方程的根再回答问题，偏离教学的重心，因此在教学过程中要强调根据函数图象分析问题，或者设计一些不能直接求解的方程．3．由于函数的零点与方程的根，以及函数图象与x轴的交点有着内在的统一性，在学生还没有真正接受函数的零点的概念之前，很容易将它们搞混淆，所以在得到函数的零点的定义后要立体化的分析它们之间的关系，在全面认识的基础上突出研究重点．4．对于函数的零点存在的判定方法，学生可能会很快理

7、解其表面含义，但是这种理解是否经得起考验，要在实践中检验，所以教学时可以设计一些易混问题，通过解决这些问题促进理解．因此本节课的教学难点是：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性．四、教学支持条件分析：本节课需要课件的支持，尤其是几何画板的应用．学生需要计算器，最好是图形计算器．五、教学过程设计（一）复习深化，揭示课题问题一请大家回忆初中研究过的一个问题：一次函数与相应的一元一次方程（组）之