2003年上海市普通高校招生考试数学试卷(郑)

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1、2003年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一.填空题1.函数的最小正周期________。2.若是方程的解，其中，则______。3.在等差数列中，，则_________。4.在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标是___________。5.在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_____________。（结果用反三角函数值表示）6.设集合，则集合_____。7.在中，，则______________。（结果用反三角函数值表示）8.若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个

2、数列的各项和，则首项，公比为的一组取值可以是___________。9.某国际科研项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选取两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为__________。（结果用分数表示）10.方程的根___________。（结果精确到）11.已知点，其中为正整数。设表示外接圆的面积，则________。12.给出问题：是双曲线的焦点，点在双曲线上。若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；

3、若不正确，将正确结果填在下面空格内。________________________________________________________________________。二.选择题13.下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（）（）；（）；（）；（）。14.在下列条件中，可判断平面与平行的是（）（）都垂直于平面；（）内存在不共线的三点到的距离相等；（）是内两条直线，且∥，∥；（）是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥。715.设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”（）（）充分非必要条件；（）必要非充分条件；（）充要条件；（）既非充

4、分又非必要条件。16.是定义在区间上奇函数，其图象如图所示。令xyc-coy=f(x)22-2-2，则下列关于函数的叙述正确的是（）（）若，则函数的图象关于原点对称；（）若，则方程有大于2的实根；（）若，则方程有两个实根；（）若，则方程有三个实根。三.解答题17.（12分）已知复数，求的最大值和最小值。18.（12分）已知平行六面体中，平面，若，直线与平面所成的角等于，求平行六面体的体积。AA1B1C1D1BCD719.（14分）已知数列（为正整数）是首项为，公比为的等比数列。（1）求和：；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。20

5、.（14分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高不小于6米，则应该如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到米）4.522lh(单位:米)721.（16分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点。已知，且点的纵坐标大于零。（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线对称的圆的方程；（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存

6、在，说明理由；若存在，求的取值范围。22.（18分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：；（3）若函数，求实数的取值范围。72003年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理)参考答案一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.等9.10.2.611.12.不正确.1取不到，.二、选择题13.C14.D15.D16.B三、解答题17.,，，.18.依题意：平面，故，又，所以平面，从而.由得，.又即为直线与平面所成的角,结合得，所以平行六面体的体积为：.

7、19.(1),同理，;(2)一般结论：其中证明：左边20.(1)以图中车道的宽所在的直线为轴、车道的宽的中点为原点建立直角坐标系；当时，可以设椭圆方程为，由题意，椭圆经过点，代入即得(米)(2)当时，可以设椭圆方程为.以点代入得，，当且仅当时有最小值，此时，(米),(米).21.(1)设，由题意，则；(2)显然，直线方程为，且圆方程为，容易求得圆心关于直线的对称点为，则所求的对称圆的方程为：；(3)设抛物线有两点关于直线对称，则，可以设直线的方程为代入抛物线得：，从而有，，可以求得的中点为，把代入直线方程为可得，再代入.22.(1)对于函数和非零常数，令，得

8、。但在实数集并不恒成立，因此。(2)设为非零常数，对