初三数学同步辅导教材

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1、初三数学同步辅导教材（第16讲）一、教学内容本周主要学习7.12解决和圆有关的比例线段．二、重点、难点剖析1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容．理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求．运用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标．和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B、C．则PA2＝PBZPC.显然，易证得△PAB∽△PCA．则＝，即PA2＝PBZPC.这里值得提醒大家，学习中既要懂得定理产生的过程，又要注意在应用时不要再去判定相似，而是可以直接使用定理．2.学会用运动的观点看问题，

2、体会特殊和一般的关系，提高认识问题的能力．从相交弦定理到切割线定理（以及它们的推论）充满着点的运动、特殊与一般的丰富内容．相交弦定理若⊙O的两条弦AB、CD相交于点P.则PAZPB＝PCZPD.若AB是⊙O的直径（特殊的弦），弦CD⊥AB于点P（特殊的位置）则PAZPB＝PCZPD＝PC2.当圆的两条弦所在的直线相交于圆外一点P，则PAZPB＝PCZPD仍然成立.易证△PAD∽△PCB，则＝，即PAZPB＝PCZPD.若是割线PBA与⊙O的两个交点A、B在⊙O上逐渐靠拢，并重合时，则得PAZPB＝PCZPDÞPA2＝PCZPD（切割线定理）．6若是割线PDC的C、D两点也是如此运动，则PA

3、2＝PCZPD＝PC2ÞPA＝PC（切线长定理）．弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要注意：(1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定；(2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系．3.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视．例已知：P是⊙O外的一点，PAB是不经过圆心O的一条割线，PO交⊙O于点Ｃ，⊙O的半径为r，OP＝d，则PAZPB等于（）Ａ.dZ(d－r)Ｂ.dZ(d＋r)Ｃ.d2－r2Ｄ.d2＋r2解延长PC

4、交⊙O于点D,则PAZPB＝PCZPD.∵OC＝OD＝r,OP＝d，∴PC＝d－r，PD＝d＋r则　PAZPD＝(d－r)Z(d＋r)＝d2－r2.选Ｃ．三、典型题例例１⊙O的AB、CD两弦相交于点P.(1)若PA＝7，PB＝6，PC＝5，则CD＝　　　　　；(2)若AB＝9，CD＝6，PA＝8，则PC＝　　　　　；(3)若AB＝12，PA＝4，PC＝PD，则PC＝　　　　　；(4)若PA＝PB＝4，PC＝PD，则CD＝　　　　　．解(1)PAZPB＝PCZPDPD＝＝＝8.4则CD＝PC＋PD＝13.4(2)∵AB＝9，PA＝8，　∴　PB＝1.又CD＝6，　∴　PD＝6－PC.则PCZ

5、(6－PC)＝8Z1，　∴　PC＝2或4.(3)∵AB＝12，PA＝4，　∴PB＝8.则PC2＝12×4，PC＝4（舍去负值）．(4)设PC＝x，则PD＝4x.∴xZ4x＝4Z4，x＝2，则CD＝PC＋PD＝5x＝10.说明(1)为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理；6(2)由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程进行求解；(3)注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长．例２如图，已知：PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，割线PDB交⊙O于点D、B.求证：ABZCD＝ADZBC.分析从条件知，PA＝PC，△PAD∽△PBA，△PCD

6、∽△PBC；由结论知，欲证ABZCD＝ADZBC，即证＝.因此，可以用“做做比比”的方法证得结论．证明∵△PAB∽△PDA（想一想，为什么？）∴＝.又∵△PBC∽△PCD∴＝.（这就是从结论的要求，结合条件去做做）又∵PA＝PC（想一想，又为什么？）∴＝．则＝（比比后得出结论）即ABZCD＝ADZBC．例３如图，已知：⊙O的弦CD垂直于直径AB，垂足为M，E是⊙O上一点，过E点的切线交CD的延长线于点P，BE交CD于点F．求证：PF2＝PDZPC.证明∵PE为切线，PDC为割线，∴由切割线定理得PE2＝PDZPC.连结AE.∵AB为直径，∴∠A＝90o－∠B.又∵AB⊥CD，　∴∠PFE＝

7、∠MFB＝90o－∠B.∵∠A＝∠PEF，∠A＝∠PFE，∴∠PEF＝PFE，PE＝PF.则PF2＝PDZPC.说明解决圆的有关问题，常需要把圆的知识结合起来，如这道题从切割线定理开始，联系到直径所对的圆周角是直径、弦切角定理等．6例４如图，已知BC为⊙O的弦，延长CB到P，使BC＝3BP，PA切⊙O于点A，N为PC的中点，AN的延长线交⊙O于点M.求证(1)PC＝2PA；　(2)MB2＝MNZMA.　　证明(1)由切割