单因素方差分析方法

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1、单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差、组间方差。总方差v=组内方差=组间方差=b从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值对总均值的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值对组均值的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值对总均值的偏离程度，反映系统的误差。在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：组间均方差=组内均方差=在方差相等的假定下，要检验n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设：均值相等即==…=备择假设：均值不完全不相等则可以应用F统计量进行方差检验：F==该统计量服从分子自

2、由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。给定显著性水平a，如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值，则说明原假设不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。下面通过举例说明如何在Excel中实现单因素方差分析。例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表2三块农田的产量甲504649524848乙495047474649丙51504946

3、5050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设：三者产量均值相等；备择假设：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。⑴新建工作表“例1”，分别单击B3：D8单元格，输入表2的产量数值。⑵计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B3：B8）”，再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出乙和丙的组均值。⑶计算总均值，单击B10单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B9：D9）”。计算机结果如图1所示图1⑷计算，并求各

4、组的组内方差的值。求甲组的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9）^2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。求乙组的值，单击C14单元格，在编辑栏输入“=（C3-$C$9）^2”。再次单击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格。求丙组的值，单击D14单元格，在编辑栏输入“=（D3-$D$9）^2”。再次单击D14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。计算的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：D19）”。计算结果如图2所示。图3⑸根据组均值和总均值求的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）^2”。再次单

5、击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。⑹计算组间方差，单击C25单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)”。计算结果如图3所示。图3⑺计算F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/（C27-1）/（C20/（C27*E27-C27））”。⑻计算的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“=FINV（C29，C27-1，C27*E27-C27）”。⑼根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“=IF（C28>C30,”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”）”。最终结果如图4所示。从图4中可以看出，运

6、用单因素方差分析，接受了原假设，因此在0.05的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。图4二、方差分析表在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差的计算可直接根据公式=v-给出。表3方差分析表方差自由度均方差F统计值组间方差=ba-1=F=组内方差=v-Ab-a=总方

7、差vV=Ab-1下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。例2方案分析表某公司研制出了A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。表44种机器生产的零件数量A754650567348B475065724649C485052464965D684849635170需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设：4种设备生产的零件数均值相等；备择假设：4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方

8、差分析予以检验。⑴新建一工作表“例2”，分别单击B3