》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座

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1、第六讲函数与方程作者：路灜 

2、 来源：东北育才外国语学校浏览次数：365次东北育才网校

3、2009-1-128:23:59《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二．命题走向　　函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一

4、元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。　　高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数

5、有零点。二次函数的零点：1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；2）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

6、做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：　①若=，则就是函数的零点；　②若·<，则令=（此时零点）；　③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；　即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。　注：函数零点的性质　从“数”的角度看：即是使的实数；　从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；　若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；　若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分

7、法求函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。　若－

8、②二次方程f(x)=0的两根都大于r　③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根　④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。四．典例解析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（　）　A．(0，1)　　B．(1，2)　　C．(2，3)　　D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，

9、由此可排除A，D。至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。 （2）原方程等价于　　　　　即　构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：　①当或时，原方程有一解；　②当时，原方程有两解；　③当或时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还

10、要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例2．（2005广