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2、1群与群的同构Group群是抽象代数中最重要的，所以对它的研究也比较多。一.概念1.群的定义：设（G,*）是个半群:封闭独异点:代数系统，如果*满足结合有幺元可结合、有幺元且每个元素群可逆，则称它是个群。可逆即群定义：43离散数学ch6-2.3群、变换群、有限群导读：就爱阅读网友为您分享以下“离散数学ch6-2.3群、变换群、有限群”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!6-2.1群与群的同构Group群是抽象代数中最重要的，所以对它的研究也比较多。一.概念1.群的定义：设（G,*）是个半群:封闭独异点:代数系统，如果*满足结合有幺元可结合、有幺元且每个
3、元素群可逆，则称它是个群。可逆即群定义：43离散数学ch6-2.3群、变换群、有限群导读：就爱阅读网友为您分享以下“离散数学ch6-2.3群、变换群、有限群”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!6-2.1群与群的同构Group群是抽象代数中最重要的，所以对它的研究也比较多。一.概念1.群的定义：设（G,*）是个半群:封闭独异点:代数系统，如果*满足结合有幺元可结合、有幺元且每个元素群可逆，则称它是个群。可逆即群定义：43设（G,*）是代数系统,（1）（a*b）*c=a*(b*c)(结合律)（2）幺元e∈S,(有幺元)（3）任何a∈S有a-1∈S,(可逆
4、)则称（G,*43）是个群。例如：判断（I,+）,（R,+），（P(E),Å），（R,×）及（P(E),∩）是否为群？请说明理由。解：（I,+）,（R,+）幺元是0，每个x的逆元是-x。（P(E),Å）幺元是Φ，因任何X∈P(E)XÅX=Φ∴X-1=X，∴（I,+）,（R,+）,（P(E),Å）是群。而（R,×）,（P(E),∩）都有幺元，但不是群。2.可换群（阿贝尔群）定义2:设（G,*）是群,运算*是可交换的，则称它是可换群。例如（I,+）,（R,+）,（P(E),Å）都是可换群。3.子群定义3：设（G,*）是群,如果（G,*）的子系统（H,*）也是群，则称（H,*）
5、是（G,*43）的一个子群即如果（H,*）满足：⑴任何a,b∈H有a*b∈H,(封闭)⑵幺元e∈H,(有幺元)⑶任何a∈H有a-1∈H,(可逆)则称（H,*）是（G,*）的子群。例如：（I,+）是（R,+）的子群。4.有限群定义4：如果一个群它的个数是有限的，则称它是有限群；如果一个群它的个数是无限的，则称它是无限群。5.群的阶数(G,*）是群,如果
6、G
7、=n,则称（G,*）是n阶群,如果
8、G
9、是无限的,则称（G,43*）是无限阶群。二.群的性质群除了具有封闭、结合、有幺元、可逆外，还有些重要性质。下面就讨论这些性质。1.群满足消去律定理1.设（G,*）是个群，则对任何a
10、,b,c∈G,如果有⑴a*b=a*c则b=c。⑵b*a=c*a则b=c。证明:任取a,b,c∈G,设有a*b=a*c因（G,*）是个群，所以a-1∈G,于是有a-1*(a*b)=a-1*(a*c)(a-1*a)*b=(a-1*a)*c1*b=1*c所以b=c43类似可证(2).2.阶数大于1的群中无零元。定理2.设（G,*）是个群,如果#G≥2,则G中无零元.证明.如果G中有零元θ，则对任何x∈G,有θ«x=θ,由于#G≥2θ≠e所以不会有y∈G,使得θ«y=e,即θ不可逆。所以G中无零元.3.群中除幺元外，一定无其它幂等元。定理3.设(G,*）是个群,G中除幺元外,无其
11、它幂等元。证明.假设有a∈G是幂等元，即a*a=a又a-1∈G,于是有a-1*(a*a)=a-1*a(a-1*a)*a=ee*a=e所以43a=e4.群方程可解性定理4：设（G,*）是个群，则对任何a,b∈G,⑴存在唯一元素x∈G,使得a*x=b…….①⑵存在唯一元素y∈G,使得y*a=b…….②证明:⑴先证①式有解因（G,*）是个群，对任何a,b∈G,有a-1∈G,∴a-1*b∈G,用a-1*b代入⑴中的x得：a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b所以x=a-1*b是方程⑴的解。（2）再证明①式的解的唯一
