中南大学2015高等数学下期末题及答案

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1、---○---○---学院专业班级学号姓名座　位　号任课教师姓名---○---○---…………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………得分评卷人一、填空题（每小题3分，总计15分）1、点到平面的距离为（）2、曲面在点处的法线方程为（）3、设是由曲面及平面围成的闭区域，则化为顺序为的三次积分为（）4、设是面的一个闭区域,则曲面积分可化为二重积分为（）5、微分方程满足初始条件的解为（）5、10得分评卷人…………………………………………………………………………

2、………………………………………………………………………………………………二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中，每小题3分，总计15分）1、双曲线绕轴旋转而成的曲面为（）（A）；（B）；（C）；（D）2、若函数在区域内具有二阶偏导数，则（）(A)必有；（B）则在区域内必连续；(C)则在区域内必可微；(D)以上都不对3、设，其中由及所围成，则化为二次积分后的结果为（）（A）；（B）；（C）（D）4、设为直线介于点到点的一段，则()（A）（B）（C）（D）5、设与都是微分方程的解，则（）.（A）也是方

3、程的解；（B）也是方程的解（C）也是方程的解（D）也是方程的解10得分评卷人三、（10分）设平面:,且直线在平面上，求的值.10得分评卷人……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………四、（10分）已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.10得分评卷人…………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者

4、考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………五、（10分）计算由旋转抛物面及锥面所围成的立体的体积.…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………得分六、求解下列各题（每题9分，共18分）1、计算，其中.2、计算，其中是从沿到的一段曲线.10得分评卷人七、（10分）计算，其中是平面所围空间区域整个边界曲面的外侧.10得分评卷人……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5、………………………评卷密封线…………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线…………八、（12分）设函数具有二阶连续导数，满足，若，(1)证明：；（2）求的表达式．一．填空题1．2．3．4．5．二．选择题1．A;2．D;3．B;4．A;5．D.三．解法一：由可得，代入平面方程，有，解得.解法二：过直线的平面束方程设为10（或），即（或），由题意知（或），解得，将及平面上的点代入平面束方程，求得.四．解：最大方向导数即为梯度的模，令,由，解得，比较：，，，所以在曲线上的最大方向导数

6、为3.五．解法一：.解法二：.六．解：1.102.因为，所以该曲线积分与路径无关，选择积分路径从沿轴到，易得七．解法一：利用高斯公式，解法二：在平面上，积分值为0，只需计算（取上侧）上的积分.因，利用两类曲面积分的联系，有.解法三：在平面上，积分值为0，只需计算（取上侧）上的积分..由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得，所以，.八．解：（1）因为10所以,已知条件化为，所以函数满足方程.（2）方程的特征方程为，得特征根所以，其对应齐次方程的通解为，设非齐方程的特解为，代入原方程，得得非齐方程的一个特解为，故方程的

7、通解为，由得,得,故．10