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时间:2018-07-13
《义务教育2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评10一般形式的柯西不等式word版含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学业分层测评(十)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则++的最大值是( )A.1B.C.3D.9【解析】 由柯西不等式得[()2+()2+()2](12+12+12)≥(++)2,∴(++)2≤3×1=3,当且仅当a=b=c=时等号成立.∴++的最大值为.故选B.【答案】 B2.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为( )【导学号:32750054】A.4B.3C.6D.2【解析】 ∵(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥2=18.∴++≥2.【答案】 D3.设
2、a1,a2,…,an为实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系为( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.不确定【解析】 由柯西不等式知≥a1+a2+…+an,∴·≥a1+a2+…+an,即得≥,∴P≥Q.【答案】 B4.若实数x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为( )A.1 B.6C.11 D.【解析】 ∵(2x2+y2+3z2)≥x·+y·1+z·=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥=,即F≥,当且仅当2x=y=3z时,取等号.【答案】 D5.已知x,y,z均大于0,且x+y+z=1,则++的最小值为
3、( )A.24 B.30 C.36 D.48【解析】 (x+y+z)≥2=36,∴++≥36.【答案】 C二、填空题6.已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,则(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是__________.【解析】 由柯西不等式得:(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2,∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2.∵2a+2b+c=8,∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥,∴(a-1)2+(
4、b+2)2+(c-3)2的最小值是.【答案】 7.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.【解析】 ∵a+2b+3c=6,∴1×a+1×2b+1×3c=6.∴(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12.当且仅当==,即a=2,b=1,c=时取等号.【答案】 128.设x,y,z∈R,若(x-1)2+(y+2)2+z2=4,则3x-y-2z的取值范围是__________.又3x-y-2z取最小值时,x的值为__________.【解析】 [
5、(x-1)2+(y+2)2+z2][32+(-1)2+(-2)2]≥(3x-3-y-2-2z)2,4×14≥(3x-y-2z-5)2,∴-2≤3x-y-2z-5≤2,即5-2≤3x-y-2z≤5+2.若3x-y-2z=5-2,又===t,∴3(3t+1)-(-t-2)-2(-2t)=5-2,∴t=-,∴x=-+1.【答案】 [5-2,5+2] -+1三、解答题9.已知正数x,y,z满足x+y+z=1.(1)求证:++≥;(2)求4x+4y+4z2的最小值.【解】 (1)证明:·(y+2z+z+2x+x+2y)≥·+·+·=1,即3≥1,∴++
6、≥.(2)由基本不等式,得4x+4y+4z2≥3,因为x+y+z=1,所以x+y+z2=1-z+z2=2+≥,故4x+4y+4z2≥3=3,当且仅当x=y=,z=时等号成立,所以4x+4y+4z2的最小值为3.10.已知f(x)=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1·x2=1时,必有f(x1)·f(x2)≥1.【证明】 由于f(x)=ax2+bx+c,且a,b,c大于0,∴f(x1)·f(x2)=(ax+bx1+c)(ax+bx2+c)≥(x1·x2+·+c)2=(ax1x2+b+c)2=
7、[f()]2=[f(1)]2.又f(1)=a+b+c,且a+b+c=1,∴f(x1)·f(x2)≥1.[能力提升]1.若2a>b>0,则a+的最小值为( )A.1B.3C.8D.12【解析】 ∵2a>b>0,∴2a-b>0,∴a+=≥·3=3.当且仅当2a-b=b=,即a=b=2时等号成立,∴当a=b=2时,a+有最小值3.【答案】 B2.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=( )A.B.C.D.【解析】 由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(
8、ax+by+cz)2=400,当且仅当===时取等号,因此有=.【答案】 C3.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=6,则++的最大值为________.【导学号:
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