全国名校高中数学题库--圆锥曲线

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1、第八章椭圆、双曲线与抛物线考点综述椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容．纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，主要体现出以下几个特点：1．基本问题，主要考查以下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解，②几何性质的应用；2、求动点轨迹方程或轨迹图形（高频），此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与它们的位置关系问题（高频），这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、

2、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题（高频），这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别值得注意的是近年出现的解析几何与平面向量结合的问题（高频）．其实，高考数学只有35个核心考点仅有122种典型考法每种考法只需1道例题和3道练习题每次1小时，学会必杀技确保高考120分！如有疑难，还可以看视频讲解！更多参考：http://product.dangdang.com/produc

3、t.aspx?product_id=22459269考点1椭圆典型考法1椭圆的最值问题典型例题已知椭圆，常数、，且．(1)当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；(2)过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积，并求的最大值．解析(1)的左焦点为，设满足题意的点为．又，∴，即由点在椭圆上，得，得，．(2)过原点且斜率分别为和的直线，关于轴和轴对称，四边形ABCD是矩形．设点A．联立方程组得，于是是此方程的解，故，即．设，则在上是单调函数．理由：对任意两个实

4、数，且，＝．，即．∴在上是单调函数，于是，，当且仅当等号成立．．注：也可利用求导法证明在上是单调函数．必杀技：利用求函数最值的方法+椭圆性质　解决与椭圆有关的最值问题须注意：1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值．2．最值问题的求解策略：(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式）(2)具体方法：①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题③结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值④利用基本不等式求最值还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂

5、的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用．以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题．读者自行完成上述性质的证明．这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭圆都成立，可用于求解一些选择题和填空题．实战演练1．是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点，则的最小值为．2．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于、两点，若，．（1）已知，求的值；（2）求四边形面积的最大值；3．若椭圆:和椭圆:满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比．(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线分别与

6、（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．参考答案：1．.2．（1）或.（2）.提示：设点到的距离分别为，，故的面积为，易得当时，取最大值．注：通过对（2）的求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形面积的若干结论．结论一：已知是椭圆的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于、两点，则四边形面积的最大值为．结

7、论二：以椭圆的一条定弦为对角线的椭圆内接四边形面积取最大值时，另一条对角线必过原点与的中点．推论1：若以为斜率的直线与椭圆相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率满足：．推论2：以为斜率的椭圆两切线间的距离为（如图8-1-8）．推论3：若是椭圆不过原点且不垂直于对称轴的弦上一点，则点是弦中点的充要条件是．结论三：椭圆内接四边形面积的最大值为．结论四：是椭圆的过原点的一条定弦，是椭圆的过弦上定点的动弦，则当弦被点平分时，椭圆内接四边形面积取最大值的充要条件是：．3．(1)(2)①当射线与轴重合时，=．②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察

8、A、B在第一象限的情形．设其方程为（），设，，由解得，同理可得，令则由知，于是在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最