第七章_美式期权定价(金融衍生品定价理论讲义)

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1、第七章_美式期权定价(金融衍生品定价理论讲义)第七章美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这

2、限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（calledbond），可转换债券（convertiblebond），假设：11>．市场无摩擦2．无违约风险3．竞争的市场4．无套利机会1．带息价格和除息价格每股股票在时间t支付红利d元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降t的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。ceS(t)=S(t)+dtce这里S(t

3、)表示股票在时间t的带息价格，S(t)表示股票在时间t的除息价格。ce这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即S(t)≠S(t)+d，则t存在套利机会。ce首先，如果S(t)>S(t)+d，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息t价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为ceceS(t)??(S(t)+d)。因为红利是确定知道的，所以只要var(S(t)??S(t))=0，则利润是t没有风险的。ce其次，如果S(t)<S(t)+d，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖tec出

4、，获得利润为S(t)+d??S(t)。t12．美式看涨期权在这一节，我们将证明，如果标的股票在美式期权到期日之前分红，则美式期权有可能提前执行，而且，如果美式看涨期权提前执行，则提前执行只发生在分红前瞬间。研究美式看涨期权提前执行的关键是看涨期权的时间价值（timevalue）的概念。下面我们引入时间价值的概念并分析时间价值的性质。符号：C(0)：美式期权在时间0的价格c(0)：欧式期权在时间0的价格S(0)：标的股票在时间0的价格T：美式期权的到期日K：美式期权的执行价格B(0,T)：面值为1的债券在时间0的价格PV[??]：括号内现金流在

5、时间0的现值0考虑美式看涨期权这样的执行策略：在到期日，不管股票价格是否大于执行价格，我们都执行期权。(如果股票价格在到期日是虚值时，这个策略显然不是最优的，但在这个策略下美式看涨期权的现值是容易计算的)在这样一个执行策略下，美式期权等价于执行价格为K的远期合约，所以为美式看涨期权的目前值为PV[S(T)??K]=S(0)??KB(0,T)0下面引入时间价值的概念。定义：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权的时间价值为TV(0)=C(0)??[S(0)??KB(0,T)]（1）直观上来说，时间价值是由于等待以决定执行期权而给期权合约带来的

6、价值增加值。因为在到期日，期权是虚值时可以不执行，所以时间价值是非负的。因为C(0)≥c(0)≥Max{0,S(0)??KB(0,T)}（2）所以（1）时间价值大于美欧式期权价格之差；（2）时间价值是非负的。下图说明了看涨期权的时间价值作为股票价格的函数的性质。2下面我们我们考虑红利的影响。为简单起见，假设红利的大小和支付时间都是已知的。我们先研究在期权的有效期之内，提前执行可能发生的时间。性质：给定正的利率，在两次分红之间或者到期日之前执行美式看涨期权不是最优的。证明：考虑下图0tTTodayEx-DividendDateMaturityo

7、fOption首先证明在时间t之前不会执行。考虑两种交易策略：策略1：马上执行期权。这个策略价值为S(0)??K策略2：等到分红前瞬间执行，即使期权是虚值的。这个策略在时间t的价值为cS(t)??K，从而该策略在时间0的价值为S(0)??KB(0,t)策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。其次证明在分红后和到期日之前的任何时间也不会执行。考虑两种交易策略：e策略1：在分红后马上执行期权。这个策略在时间t的价值为S(t)??K，e策略2：等到到期日执行，即使期权是虚值的。这个策略在时间T的价值为S(T)??K，e从而该策略在时间t的价值为

8、S(t)??KB(t,T)策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。如果期权的执行不是发生在分红前的瞬间，则会损失利息但不会有任何收入。提前执行的唯一收入是获取红