关注圆锥曲线的通径

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1、关注圆锥曲线的“通径”《解析几何》（必修）第101页介绍了抛物线的通径：经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于两点，线段叫做抛物线的通径。类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”。不难求出抛物线的通径长为2p，椭圆和双曲线的“通径”长都是。圆锥曲线的“通径”是一条重要的线段，值得我们重视，现举例说明如下：一、“通径”在高考中的体现[例1]（1995年全国高考）直线L过抛物线的焦点，并且与x轴垂直。若L被抛物线截

2、得的线段长为4，则a=__________。分析与略解：所截得的线段就是抛物线的“通径”，所以线段的长为。[例2]（1999年全国高考）设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于x轴的弦长等于到的距离，则椭圆的离心率是_________。分析与略解：过且垂直于X轴的弦长就是椭圆的“通径”长，，又到以上两题都直接与“通径”有关，利用“通径”的长可以很快算出，如果对“通径”不熟悉，运算量将有所增加。[例3]（1998年全国高考）椭圆。点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的（）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍分析与略解：设点P的坐标为（）的中点在y轴上

3、[例4]（2000年高考题）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则等于（）A.2aB.C.4aD.分析与略解：本题可以用特殊位置法来解，因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ垂直x轴时（也就是“通径”）。此时。这两题虽然没有直接以“通径”的形式给出，但通过对条件的分析，可以转化为“通径”，因此，可以利用“通径”来解。这就是“通径”在高考中的体现和启示。二、“通径”的性质如果我们对过圆锥曲线的焦点弦进行研究，将发现“通径”具有如下性质：过圆锥曲线C的焦点F，作直线L交曲线C于P、Q两点，则半“通径

4、”长的倒数是

5、PF

6、的倒数与

7、QF

8、的倒数的等差中项。证明：如图所示，设焦点到相应准线的距离是p，直线L的倾斜角为，P、Q到准线的距离分别是，则因为，根据圆锥曲线的定义知：半“通径”的长/P=e，所以半“通径”的长=ep，故半“通径”长的倒数是

9、PF

10、的倒数与

11、QF

12、的倒数的等差中项。具体来说，在抛物线中例4就是这个性质的具体表现，所以利用这个性质可以立即得出答案。综上所述，圆锥曲线的“通径”是圆锥曲线中最基本的线段，它是过焦点的直线中最特殊的一条，和过焦点的弦有密切关系。如果解题时注意应用“通径”的这些特点，将减少运算量，提高解题的速度。