延伸部分单元一（微积分与统计）

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1、香港考試及評核局香港中學文憑考試數學延伸部分單元一（微積分與統計）（樣本試卷）考試時間：兩小時三十分鐘本試卷必須用中文作答考生須知1.本試卷分甲、乙兩部。每部各佔50分。2.本試卷各題均須作答。3.所有算式，須詳細列出。4.除特別指明外，數值答案須用真確值，或用4位小數表示。考試結束前不可將試卷攜離試場HKDSE-MATH-M1–1（樣本試卷）16甲部（50分）21.依x的升冪次序展開下列數式到含x的項為止：2x(a)e，6(12x)(b)。2xe（4分）2.為一個熱氣球灌氣時，其半徑r（以米為單位）會隨時間t（以小時為單位）增加，2兩者關係是r3，其中t0。得知熱氣球的體積V（

2、以立方米為單位）為2t43Vr。3當熱氣球的半徑是2.5m時，以表熱氣球體積的變率。（4分）3.某政黨就巿民對某項政府政策的看法進行民意調查，隨機訪問了150名人士，當中有57人支持該項政策。(a)估算支持該項政策的總體比例。(b)求該總體比例的90%置信區間估計。（4分）4.某大學的一年級學生有90%是本地生，當中5%入學時持有獎學金。至於非本地生的一年級學生，則有35%入學時並非持有獎學金。(a)若隨機揀選一名一年級學生，求該學生入學時持有獎學金的率。(b)已知揀選了一名入學時持有獎學金的一年級學生，求該學生是非本地生的率。（4分）5.某製造商生產了一大批電燈泡，其平均壽命

3、為640小時，標準差為40小時。現從這批電燈泡中隨機抽出一個由25個電燈泡組成的樣本。求該25個電燈泡的樣本平均壽命大於630小時的率。（5分）HKDSE-MATH-M1–2（樣本試卷）172x36.設u，其中x1。(x1)(x2)du(a)使用對數微分法，以u及x表。dxydy(b)假設u3，以x表。dx（5分）7.隨機變量X於x1、2和3時的率分佈P(Xx)如下表所示。x123P(Xx)0.10.60.3計算(a)E(X)，(b)Var(32X)。（5分）8.某高速公路每月發生的交通意外數目依循一個平均值為1.7的泊松分佈，假設這條高速公路每月發生的交通意外數

4、目是獨立的。(a)求某年首季在這條高速公路發生至少四宗交通意外的率。(b)求某年只有一季發生至少四宗交通意外的率。（6分）39.L為曲線C:yx7於x2的切線。(a)求切線L的方程。(b)利用(a)的結果，求y軸、切線L及曲線C所圍成的面積。（7分）HKDSE-MATH-M1–3（樣本試卷）1810.水池內受某疾病感染的魚之數目N可用500Nkt1ae模擬，其中a、k為正常數，t為自爆發疾病起計的日數。當t5、10、15、20時，N的值如下表所示：t5101520N133483175500(a)將ln1表為t的線性函數。N(b)利用第10頁的方格紙，用圖解法

5、估計a及k的值（答案須準確至一位小數）。(c)疾病爆發多少日後，受感染的魚之數目會達270條？（6分）HKDSE-MATH-M1–4（樣本試卷）19乙部（50分）11.某主題公園的經理思昕展開宣傳計畫，以增加公園的每日入場人次。公園每日入場人次的變率可用下式模擬：dNk(25t)t0，dte0.04t4t其中N為每日結束時所錄得的每日入場人次（以百次為單位），t是由該計畫開始起計的日數及k為正常數。dN思昕發現該計畫開始時，N10及50。dt0.04tdv(a)(i)設v14te，求。dt(ii)求k的值，並由此以t表N。（7分）(b)(i)每日入場人次何時會達到最大

6、值？(ii)思昕聲稱在該計畫開始起計的某一日，公園的入場人次會超過50百次。你是否同意？試解釋你的答案。（3分）(c)思昕的上司認為一段長時間後，公園的每日入場人次會回復至計畫開始時的原0.04t來人次。你是否同意？試解釋你的答案。（提示：limte0。）t（2分）HKDSE-MATH-M1–5（樣本試卷）2012.(a)設f(t)為定義於t0的函數。已知2btbtf()teae8，其中a及b為負常數，f(0)0、f(0)3及f(1)4.73。(i)求a及b的值。(ii)取b0.5。求f(12)。（5分）(b)設g(t)為定義於t0的另一函數。已知33k

7、tg()tte，10其中k為正常數。圖1所示為g()t對t的圖像。已知g()t於t7.5時達至最大值和g(0)0。g()tt036912圖1(i)求k的值。(ii)利用有四個子區間的梯形法則估算g(12)。（6分）(c)根據從(b)(ii)所得的估計值及圖1，思晴聲稱g(12)f(12)。你是否同意？試解釋你的答案。（2分）HKDSE-MATH-M1–6（樣本試卷）2113.一緊急熱線中心有80名接線生。