容斥原理方阵问题讲义,公务员考试,数量关系

《容斥原理方阵问题讲义,公务员考试,数量关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩:重合的部分）　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C　　2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C　　3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+

2、4+5+6六部分：　　那么A∪B∪C还缺部分7。　　　4、等式右边【】号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，　　减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。　　　5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，　　则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。容斥原理1两集合标准型如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)　总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数　例1　一次期末考试，

3、某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析　　依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。答案　　15+12-4=23试一试　　电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？　　100-(62+34-11)=15容斥原理2三集合

4、标准型如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。集合A、B、C，满足标准型公式：==总数-三者都不满足的个数总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。例2　　某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人

5、，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？　　分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。　　答案：25+22+24-12-9-8+X=4

6、5解得X=3例3　　在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？　　分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。例4分母是1001的最简分数一共有

7、多少个？　　分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。　　解答：1~1001中,有7的倍数1001/7=143(个)；有11的倍数1001/11=91(个),有13的倍数1001/13=77(个)；有7´11=77的倍数1001/77=13(个),有7´13=91的倍数1001/91=11(个),有11´13=143的倍数1001/43=7(个).有1001的倍数1个.　　由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(

8、143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或1