有限元习题与答案

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1、习题2.1解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。解应力是某截面上的应力在该处的集度。应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU的伸长量，其相对变化量就是应变。表示在x轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位

2、移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。2.3简述线应变与剪应变的几何含义。线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。2.4推到平面应变平衡微分方程。解：对于单元体而言其平衡方程：在平面中有代入上式的2.5如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平

3、面应力状态中的一点，求和的值。解：x方向上：联立二式得：2.6相对于xyz坐标系，一点的应力如下某表面的外法线方向余弦值为，，求该表面的法相和切向应力。解：该平面的正应力全应力该平面的切应力2.7一点的应力如下MP求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。解：设主平面方向余弦为，由题知将代入得即，。最大剪应力（1）当时代入式（2.21）（2）当时代入式（2.21）且2.8已知一点P的位移场为，求该点p(1,0,2)的应变分量。解：p点沿坐标方向的位移分量为u,v,w点p(1,0,2)处线应变为，，剪应变为，，2.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E、v

4、。有如下位移场其中，a、b、c、d是常量。求讨论位移场的相容性解：因为所以满足相容性条件有广义胡克定律得又则2.10一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移场当x=0.050m,y=0.020m时，求物体的应力和应变。位移场是否相容？解：由广义胡克定律，，满足相容性条件2.11对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。其中a,b,c,d,e,f,g,h是常量。为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？解：由题意得：，，，代入平衡方程根据广义胡克定律：代入相容方程（2）代入（1）得其中2.13根据弹性力学平面问

5、题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，并解释该方程的意义。证明：弹性力学平面问题的几何方程为：①，②，③，将方程①，②分别对y和x求二阶偏导并相加得：等式右端项，该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重叠。2.14假设Airy应力函数为，其中为常数，求，并求这些变量间的约束关系。解：由，对该应力函数求偏导得;对以上两式的偏导可求得：考虑相容性条件,将上式代入可得各常量间的关系如下：2.15对给定的应力矩阵，求最大Tresca和Von.Mises应

6、力。将VonMises应力和Tresca应力201010进行比较，δ=102010Mpa。101020δzτxyτxz解：由Tresca准则：δ=δyτyz故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpaδzδ1=（δx+δy）/2=30Mpaδ2=10Mpa由VonMises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa30-15202.16一点出的应力状态由应力矩阵给出，即δ=-15-2510Mpa，若E=70Gpa，γ201040=0.33，求单位体积的应变能。解：单位体积应变能：υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δ

7、yδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2+τxz2+τyz2)}u=（E-2γ）/2γγ=0.33带入可得：υ=420.75J3.11如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。解：此三角形单元可得：2△=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+