2018版高中数学人教a版）必修1同步教师用书：第2章2.2.1第2课时对数的运算

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1、第2课时　对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1　对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)(2)logaxy＝logax·log

2、ay.(　　)(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．(　　)【解析】　(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×教材整理2　换底公式阅读教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列问题．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．　计算：log29·log34＝________.【解析】

3、　由换底公式可得log29·log34＝·＝4.【答案】　4[小组合作型]对数运算性质的应用　求下列各式的值：(1)lg14－2lg＋lg7－lg18;【导学号：97030098】(2)；(3)log3＋lg25＋lg4＋7log72；(4)2log32－log3＋log38－52log53.【精彩点拨】　当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】　(1)法一　原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二　原式＝lg14

4、－lg2＋lg7－lg18＝lg＝lg1＝0.(2)原式＝＝＝＝.(3)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg102＋2＝－＋2＋2＝.(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值：(

5、1)lg25＋lg2·lg50；(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】　(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数运算的实际应用　一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3

6、≈0.4771)【精彩点拨】　由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】　设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，∴t＝，两边取以10为底的对数得lgt＝lg，∴t(lg3－2lg2)＝－lg3，∴t＝≈≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lgE－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，

7、那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】　设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lgE1－11.4)，得lgE1＝×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lgE2＝×5.0＋11.4＝18.9，从而lgE1－lgE2＝24.9－18.9＝6.故lgE1－lgE2＝lg＝6，则＝106＝1000000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1000000倍．[探究共研型]对数换底公式的应用探究1　假设＝x，则log25＝xlo