21．1空间向量及运算

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn21、空间向量与立体几何21．1空间向量及其运算【知识网络】1．了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。2．了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3．掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。4．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向

2、量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【典型例题】[例1]（1）已知a=(2，4，5)，b=(3，x，y)，若a∥b，则（）A．x=6，y=15B。x=3，y=C。x=3，y=15D。x=6，y=（2）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有=x+y+z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P，A，B，C，D共面的（）A．必要不充分条件B。充分不必要条件C．充要条件D。既不充分又不必要条件（3）已知向量a=(1，2，3)，b=(－2，－4，－6)，

3、c

4、=，若(a+b)·c=7，则a与c的

5、夹角为（）A．30°B。60°C。120°D。150°（4）设向量a=(3，5，－4)，b=(2，1，8)，若l1a＋l2b与z轴垂直，

6、l1a＋l2b

7、=，则l1＝，l2＝。（5）在空间直角坐标系O-xyz中，点P(2，3，4)关于yOz面的对称点坐标为；关于z轴的对称点坐标为；关于原点的对称点坐标为；点P在xOz面的射影的坐标为。[例2]已知为原点，向量∥，求．[例3]已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a+b，a-b，c}是空间的另一基底，一向量在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），求在基底{a+b，

8、a-b，c}下的坐标。[例4]如图所示，在平行六面体中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设，用基底{a，b，c}表示以下向量：B1C1ABMPQA1D1DC例4图（1）；（2）；（3）；（4）．【课内练习】1．已知A(-1，0，1)，B(x，y，4)，C(1，4，7)，且A，B，C三点在同一直线上，则实数x，y分别为（）A．x=0，y=1B。x=0，y=2C。x=1，y=1D。x=1，y=22．已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(7，5，l

9、)，若a，b，c三向量共面，则l等于（）A．B。9C。D。3．已知空间两个动点A(m，1+m，2+m)，B(1-m，3-2m，3m)，则

10、

11、的最小值是（）A．B。C。D。4．已知A(2，3-m，-1+n)关于x轴的对称点是A¢(l，7，-6)，则l，m，n的值为（）A．l=-2，m=-4，n=-5B。l=2，m=-4，n=-5C。l=-2，m=10，n=8D。l=2，m=10，n=75．在空间四边形ABCD中，，，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则．6．已知正方体中，侧面的中心是，若，则，．7．已知空间两点、，则的最大

12、值和最小值分别为．8．已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面。9．已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，求当取得最小值时，点Q的坐标。10．设A(2，3，-6)，B(6，4，4)，C(3，7，4)，是平行四边形的三个顶点，试用向量法求此平行四边形的面积。21、空间向量与立体几何21．1空间向量及其运算A组1．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则

13、n=（）A．1B．2C．3D．42．已知点A、B的坐标分别为（-2，3，5）、（1，-1，-7），则向量的相反向量的坐标是（）A．（-3，4，12）B．（3，-4，-12）C．（-1，2，-2）D．（1，-2，2）3．已知a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b垂直，则k的值为（）A．B．1C．D．4．棱长为a的正四面体ABCD中，+的值等于．5．空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且，N为BC的中点，则=．（用向量a、b、c来表示．）6．设i，j，k是空间直角坐标系O-xyz中与x

14、轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，求同时适合下列条件的向量x:⑴(i－2j＋4k)×x＝0;⑵

15、x

16、＝10;⑶x在坐标面yOz内。7．已知A(1，-2，3)，B(4，-4，-3)，C(2，4，3)，D(8，6，6)，试求向量在向量方向上的射影A¢B¢。8．已知=(10，-5，10)，=(-11，-2，1