实验12(缉私艇追赶走私船模型实验)

《实验12(缉私艇追赶走私船模型实验)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学实验实验12缉私艇追赶走私船模型实验实验目的1、学会用Matlab软件求解微分方程的初值问题2、了解微分方程数值解思想、掌握两种简单的微分方程数值解求法；3、学会根据实际问题建立简单的微分方程数学模型。实验内容[1]用Matlab的dsolve命令求微分方程解析解；[2]编程用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程的数值解；[3]用Matlab的ode23或ode45等命令求微分方程的数值解。为什么要学习微分方程数值解？微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的应用。如：物体的运动、电路的电压、人口增长的预测、种群数量的演变……许多微分方程没有解析解,比如：

2、一、微分方程的解析解的Matlab的实现1、怎么用Matlab命令求微分方程的符号解呢？借助Matlab7.0帮助文件Help——Matlabhelp——SymbolicMathToolbox——SolvingEquations——SingleDifferentialEquationorSeveralDifferentialEquations——dsolve2、调用格式：dsolve('eqn1','eqn2',...)其中：eqn1,eqn2,…表示方程；用单引号引起来，默认自变量为‘t’，如果不采用‘t’，必须申明。》y=dsolve('Dy=1+y^2','x

3、')结果为：y=tan(x+c1)》y=dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')结果为：y=tan(x+1/4*pi)3、简单应用通解:特解:》y=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y',…y(pi/2)=2','Dy(pi/2)=-2/pi','x')结果为：y=2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)》n=1/2;》y=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-n^2)*y',…y(pi/2)=2','Dy(pi/2)=-2/pi','x')思考:若程序这样写行吗?为什么?

4、》[x,y]=dsolve('Dx=x+y','Dy=-x+y',…'x(0)=1','y(0)=2')结果为：x=exp(t)*(cos(t)+2*sin(t))y=exp(t)*(-sin(t)+2*cos(t))》y=dsolve('Dy=x^2+y^2','x')无解析解实例1:海上缉私海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以一定速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b前往拦截（b>a）。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终以指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，并求解;求出缉私艇追上走私船的时间。模型建立

5、：建立直角坐标系：t=0时，艇在(0,0)船在（0,c)；船速a，艇速b(b>a);时刻t，艇在P(x,y),船在Q(c,at)。实例1:海上缉私模型：x(t)、y(t)无解析解!常微分方程初值问题的提法f对y满足李普希茨（Lipschitz）条件，即存在L使什么是数值解?离散点通常取等步长hxn=x0+nh欧拉方法及其基本思想基本思路基本公式x取不同,得到不同的欧拉公式向前欧拉公式x取左端点xn向前欧拉公式显式公式几何意义求解步骤向后欧拉公式x取右端点xn+1向后欧拉公式隐式公式欧拉梯形公式向后欧拉公式二者平均得到梯形公式向前欧拉公式仍为隐式公式,需迭代求解改进欧

6、拉公式将梯形公式的迭代过程简化为两步改进欧拉公式预测校正改进欧拉公式编程求微分方程的数值解?解:(1)解析解的求解》y=dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')(2)数值解的求解数值解的求解程序x=0:0.1:1;y=sqrt(1+2*x);y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;m=length(x)-1;forn=1:m%向前欧拉法;y1(n+1)=y1(n)+h*(y1(n)-2*x(n)/y1(n));数值解的求解程序(续)%改进欧拉法;k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n);k2=y2(n)+h*k1-2*x(n+1)/(

7、y2(n)+h*k1);y2(n+1)=y2(n)+h/2*(k1+k2);enddisp([x;y;y1;y2])plot(x,y,'bo',x,y1,'r*',x,y2,'k+')数值解的图形结果改进欧拉公式计算的结果与精确解非常接近;向前欧拉公式计算的结果累计误差大。龙格——库塔方法差商代替导数向前、后欧拉公式梯形、改进欧拉公式龙格——库塔方法的基本思想欧拉方法思想龙格——库塔方法的形式龙格——库塔方法的一般形式：（参看P111）龙格——库塔方法的经典形式：4级4阶公式常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法1、常微分方程组初值问题的数值方法欧拉方法可直