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《3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一.建模目的目的在于提高学生根据实际问题建立微分方程模型的能力，学会求微分方程解析解与数值解的方法，并会做简单的计算机仿真。二.问题的提出海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。xyco5.3.2缉私艇追击走私船问题假设：0(c,0)xyD(1)建立坐标系；(2)缉私船在(c,0)处发现走私船在(0,0)处；(3)走私船逃跑方向为y轴方向；(4)t时刻，走私船到达R(0,at)缉私舰到达D(x,y)；(5)缉私舰的运动轨迹为y=y(x)三
2、.模型的建立R0(c,0)xyDRyx(0,at)α化简：对t求导：化简：（1）三.模型的建立(2)结合(1)、(2)得到如下微分方程：问题：是否存在解析解？四.模型求解(1)求解析解令：，，1)当x=0时，，c=3千米，a=0.4千米/秒，分别取b=0.6,0.8,1.2千米/秒时，缉私艇追赶路线的图形。追赶时间分别为：t=9，5，2.8125（分钟）Matlab绘图2)，当时，缉私艇不可能追赶上走私船。3)，当时，，缉私艇不可能追赶上走私船。(2)用MATLAB软件求解析解MATLAB软件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指令是dsolve，完整的调用格式是:dsol
3、ve('eqn1','eqn2',...)其中‘eqn1’,‘eqn2’,...是输入宗量，包括三部分：微分方程、初始条件、指定变量，若不指定变量，则默认小写字母t为独立变量。微分方程的书写格式规定：当y是因变量时，用“Dny”表示y的n阶导数。例求微分方程的通解。dsolve('Dy=x+x*y','x')Ans=-1+exp(1/2*x^2)*C1dsolve('Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)','y(c)=0','x')ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+1/2*exp(r*(log(c
4、)-log(x)))/(-1+r)*x-1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)Matlab(3)用MATLAB软件求数值解c=3，a=0.4，b=0.8，程序zx.mfunctiony=zx(t,y)y=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5)执行下面的命令：ode23('zx',3,0.0005,0)matlab若想看图中“o”点的坐标可执行下面的命令：[t,y]=ode23('zx',3,0.0005,0)plot(t,y)此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.9601365771211
5、8）执行下面的命令:ode45('zx',3,0.0005,0)若想看图中“o”点的坐标可执行下面的命令：[t,y]=ode45('zx',3,0.0005,0)plot(t,y)此时缉私艇的位置坐标是（0.0005，1.9675）(4)用MATLAB软件仿真法当建立动态系统的微分方程模型很困难时，我们可以用计算机仿真法对系统进行分析研究。所谓计算机仿真就是利用计算机对实际动态系统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此来预测系统的行为效果。方向为y轴正方向，：缉私艇的位置：走私船的位置：走私船初始位在点(0,0)，缉私艇的初始位在点(c,0)，，追赶方向可用方向余弦表示为：时间
6、步长为，则在时刻时：0(c,0)xyDRyx(0,at)仿真算法：第一步：设置时间步长,速度a,b及初始位置，第二步：计算动点缉私艇D在时刻时的坐标，compare计算走私船R在时刻时的坐标，第三步：计算缉私艇与走私船这两个动点之间的距离：根据事先给定的距离，判断缉私艇是否已经追上了走私船，从而判断退出循环还是让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环；第四步：当从上述循环退出后，由点列和可分别绘制成两条曲线即为缉私艇和走私船走过的轨迹曲线。取c=3千米，a=0.4千米/分钟，b=0.8千米/分钟，程序zhuixiantu.mc=3;a=0.4/60;b=0.8/60;
7、jstxb=[];jstyb=[];zscxb=[];zscyb=[];d=0.01;dt=2;t=0;jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0;while(sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)>d)t=t+dt;jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);jstxb=[jstxb,jstx];jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);js
