十六、十七、十八、十九世纪欧洲的数学

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1、十六、十七世纪欧洲的数学  16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。   例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事方面，弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修筑，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学，已渐

2、渐不能满足当时的需要了。   在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。   16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿

3、万有引力的发现。   开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其体积。这是积分学的前驱工作。   意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了"不可分原理"。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。"不可分"的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。   16世纪的

4、意大利，在代数方程论方面也取得了一系列的成就。塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、邦贝利等人相继发现和改进三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虚数。这是自希腊丢番图以来代数上的最大突破。法国的韦达集前人之大成，创设大量代数符号，用字母代表未知数，改良计算方法，使代数学大为改观。   在数字计算方面，斯蒂文系统地阐述和使用了小数，接着纳皮尔创制了对数，大大加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机，莱布尼茨发明了乘法机，虽然未臻于实用，但开辟了机械计算的新途径。   17世纪初，初等数学的主要科目(算术、代数、

5、几何、三角)已基本形成，但数学的发展正是方兴未艾，它以加速的步伐迈入数学史的下一个阶段：变量数学时期这一时期和前一时期(常称为初等数学时期)的区别在于前一时期主要是用静止的方法研究客观世界的个别要素，而这一时期是用运动的观点探索事物变化和发展的过程。   变量数学以解析几何的建立为起点，接着是微积分学的勃兴。这一时期还出现了概率论和射影几何等新的领域。但似乎都被微积分的强大光辉掩盖了。分析学以汹涌澎湃之势向前发展，到18世纪达到了空前灿烂的程度，其内容的丰富，应用之广泛，使人目不暇接。   这一时期所

6、建立的数学，大体上相当于现今大学一二年级的学习内容。为了与中学阶段的初等数学相区别有时也叫古典高等数学，这一时期也相应叫做古典高等数学时期。   解析几何的产生，一般以笛卡儿《几何学》的出版为标志。这本书的内容不仅仅是几何，也有很多代数的问题。它和现在的解析几何教科书有很大的差距，其中甚至看不到"笛卡儿坐标系"。但可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地作出了贡献。   《几何学》的主要功绩，可以归结为三点：把过去对立着的两个研究对象"形"和"数"统一起来，引入了变量，用代数方法去解决古典的几

7、何问题；最后抛弃了希腊人的齐性限制；改进了代数符号。   法国数学家费马也分享着解析几何创立的荣誉，他的发现在时间上可能早于笛卡儿，不过发表很晚。他是一个业余数学家，在数论、概率论、光学等方面均有重要贡献。他已得到微积分的要旨，曾提出求函数极大极小的方法。他建立了很多数论定理，其中"费马大定理"最有名，不过只是一个猜想，至今仍未得到证明。   对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但促使数学家去思考一些特殊的概率问题却来自赌博者的请求。费马、帕斯卡、惠更斯是概率论的早期创立者，以后经过18、

8、19世纪拉普拉斯、泊松等人的研究，概率论成为应用广泛的庞大数学分支。   和解析几何同时，17世纪在几何领域内还发生了另一场重大的变革，这就是射影几何的建立。决定性的进步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了无穷远点、无穷远线，讨论了极点与极线、透射、透视等问题，他所发现的"德扎格定理"是全部射影几何的基本定理。   帕斯卡1640年发表的《圆锥曲线论》，是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。可是当时的数学家大多致力于分析学的研究，射影几何没有受到重视，