一轮复习配套讲义：第2篇 第13讲 定积分与微积分基本定理

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1、第13讲　定积分与微积分基本定理[最新考纲]1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义.知识梳理1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)．(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0

2、时，定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分f(x)dx表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即f(x)dx＝A1＋A3－A2.2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．辨析感悟1．关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间[a，b]的分割具有任意性．(√)(2)当n→＋∞时，和式(ξi)·Δx＝f(ξi)无限趋近于某一确定的常数．(√)(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(√)2．定积分的几何意义与物理意义(4)在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(

4、a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝

5、f(x)

6、dx.(√)(5)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)(6)(教材习题改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝＝5t.(√)3．定积分的性质及微积分基本定理(7)若f(x)是连续的偶函数，则＝2f(x)dx.(√)(8)若f(x)是连续的奇函数，则＝0.(√)(9)(2013·湖南卷改编)如果x2dx＝9，则常数T＝3.(√)[感悟·提升]1．一种思想　定积分基本思想的核心是“以

7、直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．2．一个定理　由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F(x)＝x3，进而求T.3．两点提醒　一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).学生用书第46页考点一　定积分的计算【

8、例1】(1)若＝2，则实数a等于(　　)．A．－1B．1C.D．－(2)定积分dx的值为________．(3)已知函数f(x)＝sin5x＋1，则的值为________．解析　(1)∵(asinx－cosx)′＝sinx＋acosx，＝－(asin0－cos0)＝a＋1，∴a＋1＝2.∴a＝1.(2)由定积分的几何意义知，dx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故dx＝＝.答案　(1)B　(2)π　(3)π规律方法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对

9、值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.【训练1】(1)定积分＝________.(2)(2014·广东六校模拟)＝________.解析　(1)∵′＝x2＋sinx，∴＝＝.(2)由定积分的几何意义知，是由曲线y＝，直线x＝－1，x＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故＝＝.答案　(1)　(2)考点二　利用定积分求平面图形的面积【例2】(1)已知二次函数y＝f(x)的图象如

10、图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)．A.B.C.D.(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.审题路线　(1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积