用mathematica估计世界人口增长情况

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1、常用数学软件包——小学期作业一、世界人口增长情况估计【问题描述】英国统计学家马尔萨斯在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料，发现了这样一个现象：人口出生率是一个常数。在1798年他发表了《人口原理》一书，其中提出了闻名于世的Malthus人口模型年份人口（百万）196129721962306119633151196432131965323419663285196733561968342019693483再用Logistic方程求解问题，把两者进行比较。【问题分析】根据马尔萨斯人口模型可以得到：dn=h*dt[其中，n表示人口数

2、量，h表示比例常数],解这个微分方程，可得：n=*E^(h*t),表示初始人口数量。下面用最小二乘法来逼近函数。【问题求解】(用c代替)In[1]:=f1[x_]:=c*Exp[h*t];In[2]:=a=h*Log[E];b=Log[c];In[3]:=xy={{0,2972},{1,3061},{2,3151},{3,3214},{4,3234},{5,3285},{6,3356},{7,33420},{8,3483}};In[4]:=m[a_,b_]:=Sum[(a*xy[[k,l]]+b-Log[10,xy[[k,2]]]^2,{k,1

3、,9})];In[5]:=Solve[{D[m[a,b],a]==0,D[m[a,b],b]==0},{h,c}]运行结果为：Out[5]:=[｛｛h->0.00807465,c->32.3936｝｝]于是，可以得到人口函数f[t],并求出2020年的人口数目。In[6]:=F[t_]:=3239.36*Exp[0.00807465t]In[7]:=Solve[y-3239.39*Exp[0.00807465*60]==0,y]运行结果为：Out[7]:=[｛｛y->5258.6｝｝]所以该模型模拟的2020年时的人口为5258.6下面我们作出

4、函数图像与已给的数据进行比较。In[8]:=data=Table[f[i],{i,0,10}]In[9]:=t1=ListPlot[xy,PlotStyle->RGBColor[1,00]]In[10]:=t2=ListPlot[data,PlotRange->{{0,10},{3200.00,3500.00}}];In[11]:=Show[t1,t2]运行得：Out[11]:=[{3239.39,3265.65,3292.13,3318.82,3345.73,3372.85,3400.2,3427.76,3455.55,3483,57,351

5、1,81}]根据Logistic方程：f2[t_]:=a/((a/-b)*E^(-a*t)+b)经过多次的与实际数据的逼近，可以得出经验数值a->0.06,b->10^(-5).于是作出逼近函数的点图并与实际数据进行比较：In[12]:=a=0.06;b=10^(-5);c=2972;In[13]:=data=Table[f2[t],{t,0.8}];In[14]:=t3=ListPlot[data,PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]In[15]:=Show[t1,t3]再求出Logistic方程与预期的2020年世界人口：

6、In[16]:=Solve[y-f[60]==0,y]结果得：Out[16]:=｛｛y->5837.49｝｝即2020年世界人口为5837.49百万比较两次运行结果In[17]:=f1[t_]:=a/((a/c-b)*E^(-a*t)+b);In[18]:=a=0.06;b=10^(-5);c=2972;In[19]:=f2[t_]:=3239.39*Exp[0.00807465t];In[20]:=w1=Plot[f1[t],{t,0,100},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]In[21]:=w2=Plot[f2[t],

7、{t,0,100},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]In[22]:=Show[w1,w2]从上面的图像可以看出：在做近期预测时，马尔萨斯方程比较准确，但在长期预测中，马尔萨斯方程预测的结果越来越趋向于无穷大。因为人口不可能无限制的增长下去，所以在长期预报中，显然Logistic方程比马尔萨斯方程更加合理，世界人口将趋向于一个确定的值。