江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)试题

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1、江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)1．若（其中为虚数单位），则的值是▲．2.已知向量，，若，则实数的值为▲．3.命题“若一个数的平方是正数，则它是负数”的逆命题是▲.4.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为▲．5.已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为，则其体积为▲.6.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是▲.（用分数表示）7．现有一个关于平面图形的命题：同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分

2、的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为▲.8．由数字组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是▲.9．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为▲．10．给出下列四个命题，其中真命题的序号为▲．⑴“直线∥直线”的必要不充分条件是“平行于所在的平面”；⑵“直线平面”的充要条件是“垂直于平面内的无数条直线”；⑶“平面∥平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；⑷“平面⊥平面”的充分条件是“有一条与平行的直线垂直于”．11．在平面直

3、角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为▲．12．已知,且,,…,,…,则▲.13．已知椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，若与不共线），，则椭圆的离心率为▲.14．若函数的定义域与值域均为，则的取值范围是▲.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）一袋子中装着标有数字的小球各个，共个球，现从袋子中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球的数字之和．求：（1）求取出的个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的概率分布及数学期望（其中）

4、．16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.17.（本题满分14分）已知数列的前项和为，通项公式为，.（1）计算的值；（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.18.（本题满分16分）如图，四棱锥的底面是矩形，⊥底面，，，且为的中点．CDABSP（1）求异面直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．19.（本题满分16分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．证明：为定值；（3）在（2

5、）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分）已知函数，且）．（1）讨论函数的单调性；（2）若，关于的方程有唯一解，求的值；（3）当时，证明:对一切，都有成立．江苏省梁丰高级中学2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)参考答案1．；2.；3.若一个数是负数，则它的平方是正数；4.；5.；6．；7．；8．60；9．；10．⑶⑷；11．；12．；13．；设右焦点为，，.14．；15．（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为，…………1分　则．………………………3分

6、　所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为．………………4分　（2）由题意可能的取值为4，5，6，7，8，………5分，………6分，………7分，………8分，………9分.………10分所以随机变量的概率分布为45678…………………………12分.……………………14分16.（1）设，连结.由于点是的中点，又为的中点，所以…………………4分而平面，平面，所以∥平面……………7分（2）因为，所以是正方形，则，…………9分又,且平面,，所以平面……12分而平面，所以平面⊥平面………………………14分17.（1）由已知，，；…………………………3分（2）由（1）知；当时，．……………………………

7、……………6分下面用数学归纳法证明：当时，．（１）由（1）当时，；………………………………………7分（２）假设时，，即，…………………………………8分那么………………10分，所以当时，也成立．………………………………………12分由（1）和（2）知，当时，．……………………………………13分所以当，和时，；当时，．…………………14分18.因为⊥底面，底面是矩形，所以两两垂直，以所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，………………1分则各点坐标如下：…………