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《高中数学《函数与方程》素材2 苏教版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数与方程的思想方法课堂资料一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题.用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把
2、解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标(即函数y＝f(x)的零点)；解不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的
3、性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。如数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元
4、方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：⑴遇到变量，构造函数关系解题；⑵有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；⑶含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；⑷实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；⑸等
5、差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。二、例题解析1.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。[例1]已知，（a、b、c∈R），则有（）(A)(B)(C)(D)解析法一：依题设有a·5－b·＋c＝0，∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0∴故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：用心爱心专心≥10ac＋2·5a·c＝20ac,∴故选(B)[点评]解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运
6、用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2.构造函数或方程解决有关问题[例2]已知，t∈[，8]，对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围.解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]，原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2,令g(m)＝，m∈[，3]问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－1[评析]首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选
7、准“主元”往往是解题的关键。[例3]已知不等式对任意实数都成立,求的取值范围.解:令,则,,原不等式可化为在上恒成立的问题,设,①当时,,②当时,,③当时,∴所求的取值为下列不等式组的解集,或或解得的取值范围是或.[评析]把不等式恒成立问题,通过换元法转化为二次函数的最值问题,利用函数性质解决,处理二次函数最值时,按对称轴的位置分情况讨论,并利用函数性质:,当上恒成立Û,使问题得以解决.3.运用函数与方程的思想解决数列问题[例4]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，用心爱心专心（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，
8、中哪一个最大，并说明理由.解析（1）由得：，∵＝>0,＝<0，∴
