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时间:2018-07-11
《函数的幂级数的展开与技巧》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位,在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数,因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况,我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开,几乎不用积分型余项来讨论,今天我们的研究中就有着充分的体现。2泰勒级数泰勒定理指出:若函数在点的某个邻域内存在直至阶的连续导数,则,(1)这里=称为皮亚诺型余项。如果增加条件“有阶连续导数”,那么还可以写成三种形式(拉格朗日余项)(柯西余项),(积分型余项)如果在(1)中抹去余项,那么在附近可用(1)式中右边的多项式来近似代替。如果函数在处有任意阶的导数,这时称形式为:(2
2、)的级数为函数在的泰勒级数,对于级数(2)是否能够在附近确切地表达,或说在泰勒级数在附近的和函数是否就是,这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子:15例1由于函数在处的任何阶导数都为0,即所以在处的泰勒级数为:,显然,它在上收敛,且其和函数,由此看到对一切都有,这说明具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都收敛于函数本身,只有时才能够。在实际应用上主要讨论在的展开式。这时(2)也可以写成,称为麦克劳林级数。3函数的幂级数展开与技巧3.1一般的泰勒展开法(直接展开法)我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧:首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。通常有三种展
3、开思路:1、统一用柯西余项来估计余项;2、统一用积分余项来估计余项;3、柯西余项(或积分余项)结合拉格朗日余项来估计余项。本文采用第二种思路。例2求次多项式,的展开式。解:由于15总有,因而,即多项式函数的幂级数展开就是它本身。例3求函数的展开式。解:因为,,有,;从而,。例4求函数的展开式。解:由于,,有15,;所以在内能展开为麦克劳林级数:;同样可证(更简单的方法是对上面的展开式逐项求导):。例5求函数的展开式。解:注意到,函数的各阶导数是,从而,有;注意到,当或时,不变符号且关于变量单调,因此总是在时取最大值,从而,;所以的麦克劳林级数是,(3)用比式判断法容易求得
4、(3)的收敛半径,且当时收敛,15时发散,故级数域。将(3)式中换成就得到函数在处的泰勒展开式:,它的收敛域为。例6讨论:二项式函数展开式。解:当为正整数时,有二项式定理直接展开得到的展开式,这已经在前面例2中讨论过了。下面讨论不等于正整数时的情形,这时:,,,;于是的麦克劳林级数是,(4)运用比式判别法可得(4)的收敛半径。设(由二项式定理易证的情形),有,。由比式判别法知级数收敛,故通项趋于,因此15。所以,在上有,(5)对于收敛区间端点的情形,它与的取值有关,其结果如下:当时,收敛域为;当时,收敛域为;当时,收敛域为;在(5)式中,令就得到,(6)当时,得到。(7)
5、例7以与分别代入(6)(7)得到,(8),(9)对于(8)(9)分别逐项可积,可得函数与的展开式,,。这说明,熟悉某些初等函数的展开式,对于一些函数的幂级数展开是极为方便的,特别是上面介绍的基本初等函数的结果,对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。153.2通过变形、转换、利用已知的展开式例8将函数展开式的幂级数并指出收敛半径。分析:将变为的形式。解:因为,。例9求的麦克劳林展开式(至含的项)。解:由于,故,因故收敛区间为。例10将展开成的幂级数(至含项)。解:由的展开式得。153.3利用逐项积分方法例11将函数展开成的幂级数,并求其收敛区间。分析:该题可化为的形式展开,
6、但这样的展开式中变成的幂次,而不是的幂次,我们知道:,将展开再积分就方便了。解:因为,而,,,对上式两端积分可得:,当时,上式为交错级数,,显然有且,依莱布尼茨判别法知:当时,级数收敛,因此收敛区间为。153.4逐项微分法例12将展开成的幂级数。分析:先展开,再逐项微分。解:因为,注意到,所以,。例13将展开成的幂级数。解:因为,,所以。注:值得注意的是逐项积分法或逐项微分法,常常在区间内部进行,但并不是绝对的,这里就不再证明了。3.5待定系数法例14求下列函数的幂级数展开。(1);(2)。解:(1)设,15因为,所以,故即,比较系数得:,,,,由,得:,,,,从而,。(
7、2)设,则15,比较等式两边同次幂系数得:,,,,这里利用了三角恒等式,所以。3.6微分方程法例15求的幂级数展开形式。注:在前面例14中用待定系数法已求出幂级数展开式,现在用微分方程法计算,从而得到。解:设,因此,即,〈1〉由〈1〉两边同时求阶导数得:15,〈2〉令得:,〈3〉这儿下标“0”表示在处的值,在〈1〉式中令得:,在〈3〉式两边微商一次得,,令,知,得:,,代入公式〈3〉得:,,,故〈4〉这里“”表示右边的级数为左边函数的泰勒级数,容易证明右边的级数的收敛半径,利用逐项微分法可以验证级数的和函数是〈1〉给定的微分方
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