“高等数值分析”第四次书面作业.docx

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1、“高等数值分析”第四次书面作业20131010题目问：设，证明：①，；②。证明：①设（N>0），（范数的连续性），因此，，由范数的连续性可得，。若不成立，则，令的第j项为1，其余项皆为0，则第i个元素为，且不趋于0，故不趋于0。综上，②（是M的上确界），，由于，由夹挤定理，由范数的连续性可知，。由特征值定义，易证，，所以，而非零，所以，所以。综上，#“高等数值分析”第五次书面作业20131012题目1问：设，而且非奇异，求解等价于极小化，试推导极小化这个泛函的最速下降法。解：设，取，求出α，s.t.取得最小值，极小化的最速下降法：Step1给定，计算；Step2对于若，

2、则停止；其中为一事先给定的停机常数；否则Step3转到Step220131012题目2问：A为一对称正定矩阵，证明是一种向量范数，且有，其中，分别为A的最大、最小特征值。证明：首先证明是一种向量范数：①正定性由对称正定矩阵的等价性质可知，当且仅当时等号成立，因而，当且仅当时等号成立，正定性成立；②齐次性，其中，齐次性成立；③三角不等式由A的对称正定性质，存在可逆矩阵Q，s.t.，因而，当且仅当共线等式成立。由上述两式可得，当且仅当共线等式成立，三角不等式成立。由于A是对称正定矩阵，所以A的所有特征向量构成n维空间的一组正交基，设为，用这组正交基表示为由正交性质可推出由于

3、对称正定矩阵的所有特征值都大于0，所以其中，分别为A的最大、最小特征值。#“高等数值分析”第六次书面作业20131015题目1问：设A为一对称正定矩阵，如在求解的最速下降法中取为一固定常数。试分析其收敛性。解：由教材引理2.1.1，取，得对于正定矩阵A，，若，则，当时，，算法不收敛。若，则，算法不收敛。因此，当时，算法收敛，否则不能断定算法收敛。20131015题目2问：，，取。用最速下降法求出，并计算出与（2.1.10）比较。解：Step1给定，计算；Step2容易得到，所以由矩阵A的特征系数，得由于，所以，满足不等式（2.1.10），但由于，所以，两边差别不大，即收

4、敛速度较慢。“高等数值分析”第七次书面作业20131017题目1问：推导在CG法中，可写成，。解：将带入上式得又，所以由定理2.2.1，及公式和，推导完毕。20131017题目2问：证明在CG法中，至多n步即可得到方程的精确解，即一定是方程的精确解。证明：是经过n步极小化得到的，且，是n维线性空间的一组基，因此是方程的精确解（由A对称正定，方程一定有精确解），否则若存在是方程的精确解，且，这就违背了极小化的含义，因此一定是方程的精确解。#“高等数值分析”第八次书面作业20131022题目问：利用性质“当时，”直接由算法公式证明：对且无中断时，有，并解释良性中断。证明：A

5、rnoldi算法：Step1Step2，，Step3，若，则；否则良性中断。从算法中可以看出，显然。假设（），显然；由性质“当时，”可知，所以，继而，这就得到。综上，对于且无中断时，有。当出现良性中断时，，此时，即不再与线性无关，即此步前得到的线性空间对A不变，此时方程的解，由定理3.2.2知，此时得到的为方程的精确解。“高等数值分析”第九次书面作业20131024题目1问：在Lanczos过程中，若不考虑舍入误差，证明与正交。证明：在Lanczos算法中，，且每个都是单位向量。当j=1，，即与正交。假设与两两正交，那么显然对所有的k

6、原理知，在不计舍入误差条件下，与正交。20131024题目2问：A为对称矩阵，证明若A有重特征值Lanczos过程必然会中断，反之成立否？证明：假设Lanczos过程不中断，那么将进行到最后一步，得到，由定理2.5.2，的特征值必然彼此不同，即没有重特征值，进而A没有重特征值。由反证法原理得，若A有重特征值Lanczos过程必然会中断。反之，若Lanczos过程中断，A不一定有重特征值，例如，取，则，，过程中断，但A特征值为1、2、3，无重特征值，因而原结论反过来不成立。“高等数值分析”第十次书面作业20131029题目1问：当A可逆，证明：当时（k步良性中断），必有可

7、逆。证明：在arnoldi算法中，，设的一个特征值的特征向量是，则有，即也是A的特征值，对应特征向量为，进一步可以证明的所有特征值均为A的特征值。由于A可逆，故A无0特征值，所以无0特征值，进而得出可逆。在上述证明中，矩阵无0特征值与矩阵的行列式值不为0是等价的，这由特征值的定义式就可以证明，是显然的。20131029题目2问：考虑线性方程组，其中A是对称正定矩阵，用Galerkin原理求解方程，，这里是一个固定的向量。，，证明：其中，应该取哪个向量在某种意义上是最佳的？证明：利用A的对称正定性，等式得证。考虑取一定的使得最小，取与共线时