数值分析第五版答案71638

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1、第一章1．设,的相对误差为，求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2．设的相对误差为2%，求的相对误差。解：设，则函数的条件数为又,又且为24．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1),(2),(3).其中均为第3题所给的数。解：395计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为则何种函数的条件数为又故度量半径R时允许的相对误差限为6．设，按递推公式（n=1,2,…）计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？解：39……依次代入后，有即，若取,的误差限为。7．

2、求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。解：，故方程的根应为故具有5位有效数字具有5位有效数字8．当N充分大时，怎样求？解设。则3910．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：当增加时，的绝对误差增加当增加时，保持不变，则的相对误差减少。11．序列满足递推关系(n=1,2,…),若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：又又39计算到时误差为，这个计算过程不稳定。12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,,，。解：设，若，

3、，则。若通过计算y值，则若通过计算y值，则若通过计算y值，则39通过计算后得到的结果最好。13．,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算，求对数时误差有多大？解,设则故若改用等价公式则此时，第二章插值法1，2，4，6，7，8，9，11391．当时，,求的二次插值多项式。解：则二次拉格朗日插值多项式为2．给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

4、若采用线性插值法计算即，则39若采用二次插值法计算时，4．设为互异节点，求证：（1）（2）证明（1）令若插值节点为，则函数的次插值多项式为。插值余项为又39由上题结论可知得证。5设且求证：解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为=插值余项为396．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即若截断误差不超过，则7．若，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。398．如果是m次多项式，记，证明的

5、k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，9．证明证明39得证。10．证明证明：由上题结论可知得证。11．证明证明得证。12．若有个不同实根，证明：39证明：有个不同实根且令则而令则又得证。13．证明阶均差有下列性质：（1）若，则（2）若，则证明：（1）39得证。+得证。14．求及。解：若则15．证明两点三次埃尔米特插值余项是39解：若，且插值多项式满足条件插值余项为由插值条件可知且可写成其中是关于的待定函数，现把看成上的一个

6、固定点，作函数根据余项性质，有由罗尔定理可知，存在和，使即在上有四个互异零点。根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，39依此类推，在内至少有一个零点。记为使又其中依赖于分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即在小区间上16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式39设其中，A为待定常数从而17．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。解：若则步长在小区间上，分段线性插值函数为39各节点间中点处的

7、与的值为当时，当时，当时，当时，当时，误差又令得的驻点为和18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，39函数在小区间上分段线性插值函数为误差为19．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在区间上，令函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为39误差为又20．给定数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：解：39由此得矩阵形式的方程组为21M02M12M22M312M4求解此方程组得三次样条表达式为将代入得39

8、由此得矩阵开工的方程组为求解此方程组，得又三次样条表达式为将代入得3921．若是三次样条函数，证明：若，式中为插值节点，且，则证明：从而有第四章数值积分与数值微分1，2，6，7，8，10，111.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：3